Diracin mitta

Diracin mitta on yksinkertainen mitta, jonka kantaja on keskitetty yhteen pisteeseen. Se toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän.

Täsmällisemmin jos X on joukko ja ${\displaystyle x\in X}$, niin Diracin mitta pisteessä x on kuvaus ${\displaystyle \delta _{x}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,1]}$, jolle

${\displaystyle \delta _{x}(A)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\textrm {jos}}\ x\in A\\0,&{\textrm {jos}}\ x\,\not \in \,A.\end{matrix}}\right.}$

Voidaan helposti osoittaa, että pisteessä x määritellyn Diracin mitan mittaintegraali yli funktion ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$ on

${\displaystyle \int _{X}\,f\,d\delta _{x}=f(x).}$

Lähteet