Inversio-ongelma

Inversio-ongelma eli käänteisongelma tarkoittaa matematiikassa ja luonnontieteissä ongelmaa, jossa tavoitteena on päätellä epäsuoran mittauksen perusteella joitakin ominaisuuksia tutkittavasta kappaleesta. Sana inversio tarkoittaa suomeksi päinvastaista, peilikuvaa tai käänteistä. Inversio-ongelma tarkoittaakin ongelmaa, joka on vaikeampi ratkaista ”takaperin” kuin ”etuperin”. Hyvä esimerkki inversio-ongelmasta on kameralla kuvan ottaminen: Ennen kuvan ottoa on helppo nähdyn maiseman avulla ennustaa millainen kuvasta tulee, mutta jälkeenpäin kuvaa katsomalla ei voi suoraan kertoa maiseman kaikkia yksityiskohtia, varsinkaan kappaleiden kolmiulotteisia muotoja ja etäisyyksiä. Osa tiedosta on siis hävinnyt. Inversio-ongelmien terminologiassa tavallista ”etuperin” laskettua ongelmaa kutsutaan suoraksi ongelmaksi.

Esimerkkejä inversio-ongelmista

Inversio-ongelmia tavataan monenlaisten mittausten yhteydessä. Lääketieteessä tomografisten kuvausmenetelmien käyttö vaatii käänteisongelman ratkaisemista. Tällaisia menetelmiä ovat esimerkiksi tietokonetomografia tai impedanssitomografia. Seismologiassa maapallon rakennetta voidaan selvittää mittaamalla seismisten aaltojen kulkuaikoja maapallon läpi. Tässäkin on kyse käänteisongelmasta. Myös ilmakehätieteissä erilaisiin mittauksiin liittyy paljon käänteisongelmia. Esimerkiksi hiilinielujen ja -lähteiden mittaaminen satelliitin avulla sisältää käänteisongelmien ratkaisemista.

Huonosti asetettu ongelma

Tyypillisesti matematiikassa ongelmat ovat hyvin asetettuja. Matemaatikko Jacques Hadamardin kehittämien ehtojen mukaan ongelma on hyvin asetettu, jos kaikki seuraavat ehdot täyttyvät:

ongelmalla on ratkaisu
ratkaisuja on tasan yksi
ratkaisu riippuu jatkuvasti annetusta datasta.

Inversio-ongelma on kuitenkin tyypillisesti huonosti asetettu, eli se ei toteuta jotakin yllä olevista ehdoista. Inversio-ongelmalla voi esimerkiksi olla useita ratkaisuja, eli sillä on ratkaisujoukko. Tämä sotii ratkaisun yksiselitteisyyttä vastaan. Esimerkiksi derivaatan inversio-ongelma on integraali, joka tarvitsee annetun informaation ulkopuolelta vakion ollakseen täysin määritelty. Lisäksi ehdoista viimeinen rikkoutuu usein inversio-ongelmissa. Jos inversio-ongelman ratkaisu ei riipu jatkuvasti mittaustuloksesta, se tarkoittaa, että kaksi lähes samaa mittaustulosta voikin vastata hyvin erilaisia mitattavia kappaleita. Tämä on vaikeaa, sillä käytännön mittauksissa on aina virhettä, eli mittaustulos ei ole täysin tarkka. Yllä olevien syiden vuoksi inversio-ongelman ratkaisuun pitääkin usein sisällyttää ennakkotietoja etsityn ratkaisun luonteesta, jotta päästään haluttuun tulokseen. Tätä kutsutaan regularisaatioksi.

Lähteet

1 2 3 Salo, Mikko: INVERSIO-ONGELMAT – MATEMATIIKKAA JA SEN SOVELLUKSIA (Arkihimedes) rni.helsinki.fi. Arkistoitu 24.9.2015. Viitattu 6.9.2014.
↑ The Finnish Inverse Problems Society FIPS. Viitattu 24.1.2025. (englanniksi)
↑ Inverse problems on remote sensing tackled at FMI | Centre of Excellence of Inverse Modelling and Imaging | University of Helsinki www.helsinki.fi. 18.10.2018. Viitattu 27.1.2025. (englanniksi)
↑ Hadamard, Jacques: Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton university bulletin, 1902, s. 49-52. (ranskaksi)
↑ ”19.4 Inverse Problems and the Use of A Priori Information”, Numerical recipes: the art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8 (englanniksi)

Aiheesta muualla

Simopekka Vänskän lisensiaatintyön kuvaus aiheesta (Arkistoitu – Internet Archive)
Suomen Akatemian julkaisun artikkeli Inversio-ongelmien huippuyksiköstä (Arkistoitu – Internet Archive)
Suomen inversioseura ry:n verkkosivut

[:0-1] 1 2 3 Salo, Mikko: INVERSIO-ONGELMAT – MATEMATIIKKAA JA SEN SOVELLUKSIA (Arkihimedes) rni.helsinki.fi. Arkistoitu 24.9.2015. Viitattu 6.9.2014.

[2] The Finnish Inverse Problems Society FIPS. Viitattu 24.1.2025. (englanniksi)

[3] Inverse problems on remote sensing tackled at FMI | Centre of Excellence of Inverse Modelling and Imaging | University of Helsinki www.helsinki.fi. 18.10.2018. Viitattu 27.1.2025. (englanniksi)

[4] Hadamard, Jacques: Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton university bulletin, 1902, s. 49-52. (ranskaksi)

[5] ”19.4 Inverse Problems and the Use of A Priori Information”, Numerical recipes: the art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. ISBN 978-0-521-88068-8 (englanniksi)