Seuraura
Schultz pelasi vuosina 2006–2009 BCHL-juniorisarjaa Westside Warriorsin joukkueessa. Hänet valittiin molempien kokonaisten kausiensa 2007–2008 ja 2008–2009 päätteeksi sarjan sisämaan konferenssin (engl. Interior Conference) parhaaksi puolustajaksi. Anaheim Ducks varasi Schultzin toisella kierroksella 43. pelaajana NHL:n varaustilaisuudessa 2008. Hän pelasi varauksensa jälkeen vielä kauden 2008–2009 BCHL:ssä, sillä Schultz siirtyi CHL:n sijaan seuraavaksi kaudeksi NCAA:han.
Vuodet 2009–2012 Schultz kävi Wisconsinin yliopistoa. Hänet valittiin tulokaskautensa 2009–2010 päätteeksi WCHA:n tulokkaiden tähdistökentälliseen. Kaudella 2010–2011 Schultz teki NCAA:n yhden kauden piste-ennätyksensä tehoilla 18+29=47, joilla hän voitti pelipaikastaan huolimatta UW-Madisonin sisäisen pistepörssin ja oli koko NCAA:n tehokkain puolustaja. Schultz jakoi WCHA:n pistepörssin viidennen sijan Colorado Collegen Jaden Schwartzin kanssa, maalipörssin kymmennen sijan UMD:n Jack Connollyn ja joukkuetoverinsa Jordy Murrayn kanssa sekä sijoittui syöttöpörssissä kahdeksanneksi. Hänet valittiin WCHA:n vuoden puolustavaksi pelaajaksi ja ensimmäiseen tähdistökentälliseen. Schultz oli ehdolla jopa koko NCAA:n parhaalle pelaajalle myönnettävän Hobey Baker Awardin saajaksi, mutta palkinto meni kuitenkin Miamin yliopiston Andy Mielelle.
Kaudella 2011–2012 Schultz saavutti samat henkilökohtaiset palkinnot kuin edelliskaudella, Hobey Baker Award -ehdokkuutta myöten. Hän toimi UW-Wisconsinin varakapteenina ja oli tehoilla 16+28=44 joukkueen paras maalintekijä sekä toiseksi paras pistemies Mark Zengerlen jälkeen. Schultz sijoittui WCHA:n pistepörssissä kymmenenneksi ja jakoi syöttöpörssin seitsemännen sijan Denverin yliopiston Nick Shoren kanssa. Hän oli myös koko NCAA:n tehokkain puolustaja.
Jo kesken kauden 2011–2012 Anaheim Ducks tarjosi Schultzille sopimusta, josta hän kuitenkin kieltäytyi. Näin ollen Schultz käytti hyödykseen NHL:n työehtosopimuksessa olevaa porsaanreikää, ja hänestä tuli vapaa pelaaja. Schultz oli ilman NHL-debyyttiäkin kesän 2012 halutuimpia vapaita pelaajia, ja häntä on luonnehdittu monissa papereissa jo valmiiksi NHL-pelaajaksi. Kesäkuun lopulla Schultz valitsi seurakseen Edmonton Oilersin, jonka kanssa hän teki kaksivuotisen tulokassopimuksen. Schultz perusteli seuravalintaansa:
»Kun katsoo heidän nykyistä joukkuettaan, siellä on useita nuoria kavereita joista on tulossa supertähtiä. Heillä on erittäin hyvä nuori runko ja se on minusta kiehtovaa.»
Schultz aloitti kauden 2012–2013 lähinnä NHL:n työsulun vuoksi Oilersin farmijoukkue Oklahoma City Baronsissa, AHL:ssä. Hän teki siellä 34:ssä runkosarjaottelussa tehot 18+30=48. Schultz voitti koko liigan puolustajien maalipörssin ja jakoi puolustajien pistepörssin voiton Bridgeport Sound Tigersin Matt Donovanin kanssa. Hänet palkittiin kauden päätteeksi AHL:n parhaana puolustajana Eddie Shore Awardilla. Schultz oli ensimmäinen kyseisen palkinnon saanut tulokaspelaaja. Hänet valittiin myös liigan ensimmäiseen tähdistökentälliseen sekä tulokkaiden tähdistökentälliseen. Schultz valittiin kauden aikana myös sekä AHL:n loka- että marraskuun 2012 kuukauden pelaajaksi sekä liigan viikon pelaajaksi 21. lokakuuta.
Työsulun päätyttyä tammikuussa 2013 hänet nostettiin Oilersin NHL-joukkueeseen, eikä Schultz palannut tämän jälkeen enää AHL:ään. Hän teki näin ollen NHL-debyyttinsä kauden avauskierroksella 20. tammikuuta 2013 vieraissa Vancouver Canucksia vastaan. Schultz sai ottelussa jääaikaa 20.52 minuuttia ja hänet valittiin ottelun kolmostähdeksi. Schultz teki seuraavassa ottelussa 22. tammikuuta 2013 vieraissa San Jose Sharksia vastaan NHL-uransa avausmaalin. Hänet valittiin ottelun kolmostähdeksi. Kaikkiaan Schultzin tulokaskausi NHL:ssä toi 48 runkosarjaottelussa tehot 8+19=27, joilla hän oli Oilersin tehokkain puolustaja. Schultz valittiin kauden päätteeksi NHL:n tulokkaiden tähdistökentälliseen.
Ensimmäisellä täysimittaisella NHL-kaudellaan 2013–2014 Schultz teki 74 runkosarjaottelussa tehot 11+22=33. Hän oli Oilersin tehokkain puolustaja ja myös Schultzin peliaika (23:20) oli keskimäärin joukkueen suurin. Elokuussa 2014 Schultz teki vuoden mittaisen ja 3,675 miljoonan dollarin arvoisen jatkosopimuksen Oilersin kanssa. Helmikuun lopulla 2016 Schultz siirtyi Pittsburgh Penguinsiin Oilersista, ja Oilers sai vaihdossa vastineeksi kesän 2016 kolmannen kierroksen varausvuoron.
Lokakuussa 2020 Schultz teki vapaana pelaajana Washington Capitalsin kanssa kaksivuotisen ja yhteensä kahdeksan miljoonan dollarin arvoisen sopimuksen. Heinäkuussa 2022 Schultz teki vapaana pelaajana Seattle Krakenin kanssa kaksivuotisen ja yhteensä kuuden miljoonan dollarin arvoisen sopimuksen.
Schultz päätti uransa joulukuussa 2024.
Kanada
