Hurtigin vanhemmat olivat työmestari Adolf Hurtig ja Ulrika Vasander. Hän liittyi metodistikirkkoon 1890, suoritti tutkinnon metodistikirkon teologisessa koulussa Uppsalassa 1895 ja hänet vihittiin papiksi 1898. Hurtig teki opintomatkoja Englantiin 1899, 1902, 1910 ja 1929, Roomaan 1911, Saksaan ja Sveitsiin 1913 ja 1922 sekä Yhdysvaltoihin 1924 ja 1932.
Hurtig oli Ruotsissa pastorina Emmabodanissa 1895–1896, Nyköpingissä 1896–1899 ja Tukholmassa 1899–1904. Hän oli Helsingin Emanuelin kirkon pastorina vuodesta 1904 ja Helsingin metodistiseurakunnan esimiehenä 1904–1943, toimi Nya Budbäraren-lehden toimittajana 1906–1910 ja uudelleen vuodesta 1916 alkaen. Hurtig perusti turvattomien lasten kodin 1912 ja toimi sen johtajana. Hän perusti myös vanhuuskodin 1928 ja Helsingin Konkordia-sairaalan 1928. Hän oli Suomen metodistikirkon sihteerinä 1905–1906 ja 1910–1923 sekä superintendenttinä 1924–1930.
Hurtig oli naimisissa vuodesta 1899 Agnes Mabel Waden (k. 1928) kanssa.
Julkaisuja
Minnesskrift vid Helsingfors svenska metodist-episkopalförsamlings 25 års jubileum den 7 november 1909. Helsingfors 1909
Från tempelstunder: predikningar. Helsingfors 1912
Portarna till Guds stad: predikningar. Borgå 1913
Evighetsord: predikningar. Helsingfors 1914
Vårt lif bortom grafven: ett budskap till alla sörjande. Helsingfors 1914
Fader vår. Studier och tankar. Söderström, Borgå 1917
Jesus och hans vänner: karaktärs-studier. Söderström, Helsingfors 1918
Från tempelstunder: predikningar. Söderström, Helsingfors 1919
Guds folk i helg och söcken: ord till tröst och uppmuntran. Söderström, Helsingfors 1920
Kristus och vår tid. Evangeliska budskap till nutidsmänniskan av Karl Hurtig, pastor i Emanuelskyrkan, Helsingfors. Söderström & C:o, Helsingfors 1922
Metodismen i Finland: dess fyrtioåriga historia i korta drag tecknad. Helsingfors 1923
I lidandets skola: Studier i Jobs bok. Söderström, Helsingfors 1930
Även om tusende falla ..: berättelse om metodistkyrkans första missionär i Afrika Melville B. Cox. Metodistkyrkans svenska bokförlag, Helsingfors 1933
Helsingfors svenska metodistförsamling 1884-1934: minnesskrift. Helsingfors 1934
Herrens välsignelse: meditationer över välsignelsens heliga ord. Söderström, Helsingfors 1934