Seuraura
Curran valmistui Bishop O’Byrne High Schoolista vuonna 2007. Kausina 2006–2010 hän pelasi AJHL-junioriliigaa Calgary Canucksin joukkueessa. Kaudella 2006–2007 Curran jakoi tehoilla 11+28=39 joukkueen sisäisen pistepörssin toisen sijan Dylan Trumblen kanssa edellään vain Matt MacKay. Hän sijoittui koko liigan puolustajien pistepörssissä viidenneksi. Kaudella 2008–2009 Curran oli tehoilla 9+30=39 Canucksin paras syöttäjä, kolmanneksi paras pistemies ja tehokkain puolustaja. Kesken kauden 2009–2010 hän siirtyi Spruce Grove Saintsin joukkueeseen. Curran teki AJHL:n runkosarjassa yhteensä tehot 10+38=48, joilla hän sijoittui liigan puolustajien pistepörssissä kolmanneksi. Curran voitti kauden päätteeksi AJHL:n mestaruuden. Saints kuitenkin hävisi Doyle Cupissa BCHL:n mestari Vernon Vipersille otteluvoitoin 4–3.
Vuodet 2010–2015 Curran opiskeli Calgaryn yliopistossa. Kaudella 2012–2013 hän oli tehoilla 3+19=22 joukkueensa paras syöttäjä ja Curran jakoi sisäisen pistepörssin kolmannen sijan Taylor Stefishenin kanssa. Kauden 2013–2014 päätteeksi hänet valittiin CIS:n läntisen divisioonan ensimmäiseen tähdistökentälliseen. Kaudella 2014–2015 Curran oli tehoilla 6+18=24 Calgaryn paras syöttäjä ja toiseksi paras pistemies Elgin Pearcen jälkeen. Hänet valittiin kauden päätteeksi taas CIS:n läntisen divisioonan ensimmäiseen tähdistökentälliseen. Yliopistokauden päätteeksi, maaliskuussa 2015 Curran siirtyi amatööritry-out -sopimuksella AHL-joukkue Hartford Wolf Packiin. Hän pelasi siellä kaksi runkosarjaottelua tehden yhden syöttöpisteen.
Syyskuussa 2015 Curran teki Hartford Wolf Packin kanssa vuoden mittaisen AHL-sopimuksen. Samana syksynä NHL-varaamaton Curran osallistui New York Rangersin harjoitusleirille. Hän pelasi Wolf Packissa kaudella 2015–2016 18 runkosarjaottelua tehden neljä syöttöpistettä. Suurimman osan kaudestaan Curran pelasi kuitenkin ECHL-joukkue Greenville Swamp Rabbitsin vahvuudessa tehden 45 runkosarjaottelussa tehot 7+18=25, joilla hän oli joukkueen tehokkain puolustaja.
Kaudeksi 2016–2017 Curran siirtyi vuoden mittaisella sopimuksella Tanskan Metal Ligaenin Esbjerg Energyyn. Hän oli joukkueen neljänneksi paras pistemies tehoilla 10+23=33, joilla Curran voitti koko liigan puolustajien pistepörssin sekä jakoi puolustajien maalipörssin voiton Gentofte Starsin Jesse Jyrkkiön kanssa. Hän sijoittui myös tehoilla 6+11=17 koko Metal Ligaenin pudotuspelien pistepörssissä kolmanneksi sekä voitti puolustajien piste-, maali- ja syöttöpörssin. Curran voitti myös Esbjergin sisäisen tehotilaston lukemalla +7. Hän voitti kauden päätteeksi Tanskan-mestaruuden. Curran valittiin Metal Ligaenin tähdistökentälliseen. Kaudeksi 2017–2018 hän siirtyi vuoden mittaisella sopimuksella Norjan GET-ligaenissa pelaavan Storhamar Ishockeyn riveihin. Curran nousi joukkueen kapteeniksi. Hän oli tehoilla 12+32=44 Storhamarin paras syöttäjä ja kolmanneksi paras pistemies. Curran sijoittui koko liigan puolustajien pistepörssissä toiseksi edellään vain Sparta Warriorsin Troy Rutkowski. Hän voitti myös koko GET-ligaenin tehotilaston lukemalla +51. Curran voitti myös pelipaikastaan huolimatta koko liigan pudotuspelien piste-, maali- ja syöttöpörssin tehtyään 14 ottelussa tehot 12+17=29. Hän voitti myös GET-ligaenin tehotilaston lukemalla +18. Curran voitti kauden päätteeksi Norjan-mestaruuden. Hänet valittiin pudotuspelien arvokkaimmaksi pelaajaksi sekä koko GET-ligaenin vuoden pelaajaksi ja tähdistökentälliseen.
Curran siirtyi kaudeksi 2018–2019 kaksivuotisella sopimuksella Ruotsin SHL-liigan Rögle BK:hon. Hän oli tehoilla 12+25=37 joukkueen toiseksi paras pistemies Ted Brithénin jälkeen. Curran jakoi koko SHL:n pistepörssin kymmenennen sijan Färjestad BK:n Oskar Steenin ja Djurgårdens IF:n Jakob Liljan kanssa. Hän jakoi myös puolustajien maalipörssin voiton Timrå IK:n Johannes Kinnvallin kanssa, mutta Curran teki häntä enemmän tehopisteitä. Hän sijoittui puolustajien pistepörssissä kolmanneksi. Joulukuussa 2018 Curranin sopimusta pidennettiin vuodella kevääseen 2021 saakka.
Kaudella 2019–2020 Curran teki pelipaikastaan huolimatta yli piste per peli -tahdilla 48 runkosarjaottelussa tehot 12+37=49, joilla hän sijoittui koko SHL:n pistepörssissä toiseksi edellään vain Färjestad BK:n Marcus Nilsson. Curran voitti näin ollen liigan puolustajien piste- ja syöttöpörssin sekä ulkomaalaispelaajien pistepörssin. Hänet palkittiin kauden päätteeksi koko SHL:n arvokkaimapana pelaajana Guldhjälmenillä ja parhaana puolustajana Salming Trophylla. Curran sai samat tunnustukset erikseen myös SHL:n palkitogaalassa.
Toukokuussa 2020 KHL-seura Avangard Omsk ilmoitti tehneensä kaksivuotisen sopimuksen Curranin kanssa, mutta samalla seura tiedotti kuitenkin hänen ostaneen sopimuksensa ulos, jotta Curran voisi siirtyä NHL:ään. Kaksi päivää myöhemmin kesäkuussa CapFriendly -sivusto kertoi hänen tehneen kaksivuotisen, yksisuuntaisen ja kahden miljoonan dollarin arvoisen NHL-sopimuksen Anaheim Ducksin kanssa.
Kanada
