Seuraura
Bryggman on Storforsin kasvatti. Hän siirtyi juniorina sittemmin Piitimeen. Bryggman oli kaudella 2008–2009 tehoilla 14+12=26 seuran J18-joukkueen paras pistemies ja hän jakoi sisäisen maalipörssin voiton Jens Sundkvistin kanssa. Kaudeksi 2019–2010 Bryggman siirtyi Skellefteån organisaatioon. Hän voitti kauden 2010–2011 päätteeksi J18 Allsvenskanin hopeaa. Kaudeksi 2012–2013 Bryggman palasi Piteå HC:hen pelaamaan Ruotsin kolmanneksi korkeinta sarjatasoa maan I-divisioonaa. Hän oli tehoilla 18+16=34 joukkueen toiseksi paras maalintekijä ja kolmanneksi paras pistemies.
Huhtikuussa 2013 Bryggman teki kaksivuotisen SHL-sopimuksen Luulajan kanssa. Kauden 2013–2014 kynnyksellä syyskuussa seura kuitenkin lainasi hänet sarjatasoa alemmas HockeyAllsvenskan-joukkue Asplöveniin. Bryggman pelasi siellä suurimman osan kaudestaan tehden 43 runkosarjaottelussa tehot 8+11=19. SHL:ssä hän pelasi kauden aikana 18 runkosarjaottelua tehden yhden maalin ja neljä pudotuspeliottelua tehden yhden maalin. Bryggman teki SHL-debyyttinsä 26. marraskuuta 2013 vieraissa Frölundaa vastaan. Hänet merkittiin Luulajan nelosketjun oikeaan laitaan Vjatšeslav Truhnon ja Karl Fabriciuksen viereen. Byrggman sai ottelussa jääaikaa 11.25 minuuttia. SHL-uransa avausmaalin hän teki 1. helmikuuta 2014 Linköpingiä vastaan. SHL-uransa ensimmäisen pudotuspelimaalin Bryggman teki neljännessä puolivälieräottelussa 22. maaliskuuta 2014 Växjö Lakersia vastaan. Hänen osumansa jäi Luulajan 5–4-voittoon päättyneen ottelun voittomaaliksi ja se hyväksyttiin videotarkistuksen jälkeen. Ottelusarjan voitti lopulta kuitenkin Växjö voitoin 4–2. Bryggman pelasi kauden aikana myös neljä European Trophy-ottelua ilman tehopisteitä.
Kaudella 2014–2015 Bryggman pelasi SHL:ssä 31 runkosarjaottelua tehden kolme syöttöpistettä ja kahdeksan pudotuspeliottelua tehden yhden maalin. Hän pelasi myös kuusi Mestarien liigan ottelua tehden yhden maalin. Bryggman voitti CHL:n mestaruuden. Hän pelasi ison osan kaudestaan myös lainalla Asplövenin Allsvenskan-joukkueessa, jossa Bryggman pelasi 25 ottelua. Bryggman siirtyi kaudeksi 2015–2016 vuoden mittaisella sopimuksella Allsvenskan-joukkue Leksandiin. Marraskuussa hänen sopimuksensa seuran kanssa purettiin, kun Leksandin urheilutoimenjohtaja Christer Siikin mukaan joukkueessa oli tarpeeksi Bryggmanin tyylisiä pelaajia. Hän palasi loppukaudeksi takaisin Asplöveniin, josta puolestaan Leksandin suuntaan siirtyi Johan Porsberger. Asplövenin kausi päättyi putoamiseen HockeyEttaniin.
Bryggman siirtyi kaudeksi 2016–2017 jatkamaan Allsvenskan-pelejään vuoden mittaisella sopimuksella IK Panterniin. Marraskuussa 2016 seura lainasi hänet alustavasti viikoksi SHL-joukkue Malmö Redhawksiin. Bryggman pelasi siellä lopulta yli puolet kaudestaan ja kauden loppuun pelaten 29 runkosarjaottelua tehopistein 5+8=13 ja 12 pudotuspeliottelua ilman tehopisteitä. Kesäkuussa 2017 hän teki Redhawksin kanssa uuden, kauden 2017–2018 kattavan sopimuksen. Bryggmanin kausi päättyi kuitenkin toisessa puolivälieräottelussa tulleen jalkavamman vuoksi. Tammikuussa 2018 hän teki Redhawksin kanssa kaksivuotisen jatkosopimuksen.
Kaudella 2019–2020 Bryggman teki SHL:n yhden kauden piste-ennätyksensä tehoilla 9+18=27, joilla hän oli Malmö Redhawksin toiseksi paras pistemies Fredrik Händemarkin jälkeen. Joulukuussa 2019 Bryggmanin sopimusta seuran kanssa jatkettiin kolmella vuodella kevääseen 2023 saakka. Kausi 2021–2022 hänellä päättyi loukkaantumiseen runkosarjan lopulla maaliskuussa 2022. Kauden jälkeen huhtikuussa Bryggmanin sopimus Redhawksin kanssa viimeisestä kaudesta purettiin.
Bryggman siirtyi kaudeksi 2022–2023 vuoden mittaisella sopimuksella SM-liigajoukkue Pelicansiin. Hän aloitti kautensa heikosti ja jäi kahdeksassa ensimmäisessä ottelussa ilman tehopisteitä. 15 ensimmäisessä ottelussaan Bryggman teki vain tehot 1+1=2. Lopulta hän teki runkosarjassa 47 ottelussa tehot 14+9=23 ja jakoi joukkueen sisäisen maalipörssin kolmannen sijan Aatu Jämsenin kanssa. Pudotuspeleissä Bryggman teki viisi maalia, joista kaksi oli voittomaaleja. Viidennessä puolivälieräottelussa 24. maaliskuuta 2023 KalPaa vastaan hän teki tehot 2+1=3, kun Pelicans voitti ottelun lukemin 3–1. Bryggmanin toinen osuma syntyi ylivoimalla ja se jäi joukkueen voittomaaliksi. Pelicans siirtyi ottelusarjassa 3–2-johtoon. Taavi Vartiainen valitsi hänet ottelun Alumnien tähtien ykköstähdeksi. Myös ottelusarjan seitsemännessä ottelussa 28. maaliskuuta 2023 Bryggman teki KalPaa vastaan kaksi maalia. Niistä ensimmäinen jäi Pelicansin 4–2-voittoon päättyneen ottelun voittomaaliksi ja se ratkaisi joukkueelle välieräpaikan. Bryggman keräsi ottelusta tasakentällisin teholukeman +3. Jan Latvala valitsi hänet ottelun Alumnien tähtien kolmostähdeksi. Bryggman voitti kauden päätteeksi SM-hopeaa. Heinäkuussa 2023 hän teki vuoden mittaisen jatkosopimuksen Pelicansin kanssa.
Kaudeksi 2023–2024 Bryggman nimettiin Pelicansin varakapteeniksi. Hän oli tehoilla 20+25=45 joukkueen paras maalintekijä ja kolmanneksi paras pistemies. Bryggman jakoi SM-liigan maalipörssin kymmenennen sijan kuuden muun pelaajan kanssa. Pudotuspeleissä hän nosti tasoaan ja teki 17 ottelussa tehot 5+5=10. Bryggman oli Pelicansin paras maalintekijä. Hänen maaleistaan peräti viisi oli voittomaaleja. Seitsemännessä puolivälieräottelussa 2. huhtikuuta 2024 Helsingin IFK:ta vastaan Bryggman teki tehot 2+1=3. Hän teki Pelicansin 4–3-voittomaalin vain 1.03 minuuttia ennen varsinaisen peliajan päättymistä ja se ratkaisi joukkueelle välieräpaikan. Taavi Vartiainen valitsi Bryggmanin ottelun Alumnien tähtien kolmostähdeksi. Hän voitti kauden päätteeksi SM-hopeaa.
Kesken kauden 2024–2025, helmikuussa 2025 Bryggman nimettiin Pelicansin kapteeniksi Miika Roineen siirryttyä siirtotakarajalla HIFK:hon. Hän oli tehoilla 23+26=49 joukkueen paras maalintekijä ja toiseksi paras pistemies Ryan Laschin jälkeen. Bryggman jakoi koko SM-liigan maalipörssin kahdeksannen sijan TPS:n Max Lindrothin kanssa.
Bryggman palasi kaudeksi 2025–2026 vuoden mittaisella sopimuksella hänen aiemman junioriseuransa Skellefteån SHL-joukkueeseen. Hän voitti kauden päätteeksi Ruotsin-mestaruuden.
Kaudeksi 2026–2027 Bryggman palasi SM-liigaan ja siirtyi kaksivuotisella sopimuksella Turun Palloseuraan.
Ruotsi
