Lemmojen kirja

Lemmojen kirja
Liber assumptorum
Lemmojen kirjan alku Thomas Heathin englanninkielisessä käännöksessä vuodelta 1897.
Alkuperäisteos
Kirjailija	Arkhimedes(?)
Kieli	muinaiskreikka (alkup.) latina (säilynyt)
Genre	matematiikka
Julkaistu	200-luku eaa.
Löydä lisää kirjojaKirjallisuuden teemasivulta
Infobox OK

Lemmojen kirja (lat. Liber assumptorum) on Arkhimedeen nimiin laitettu antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee tasogeometriaa. Se on säilynyt nykyaikaan vain latinankielisenä käännöksenä.

Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teos Lemmojen kirja on säilynyt nykyaikaan vain sen arabiankielisestä käännöksestä (arab. Maʾkhūdhāt Mansūba ilā Arshimīdis) 1600-luvulla tehtynä latinankielisenä käännöksenä. Teos ei kuitenkaan voi olla nykymuodossaan sellaisenaan Arkhimedeen kirjoittama, sillä häntä lainataan tai häneen viitataan siinä nimellä useammin kuin kerran.

Sisältö

Teos on nimensä mukaisesti kokoelma lemmoja, ja koostuu viidestätoista tasogeometrian propositiosta. Ne ovat:

• Propositio 1. Jos kaksi ympyrää sivuavat toisiaan pisteessä ${\displaystyle A}$ ja jos ${\displaystyle BD}$ ja ${\displaystyle EF}$ ovat niissä yhdensuuntaiset halkaisijat, niin ${\displaystyle ADF}$ on suora.
• Propositio 2. Olkoon ${\displaystyle AB}$ puoliympyrän halkaisija, ja olkoot siihen piirretyt tangentit pisteissä ${\displaystyle B}$ ja jossakin toisessa pisteessä ${\displaystyle D}$ niin, että ne leikkaavat toisensa pisteessä ${\displaystyle T}$. Jos nyt ${\displaystyle DE}$ piirretään kohtisuoraan ${\displaystyle AB}$:tä vastaan ja jos ${\displaystyle AT}$ ja ${\displaystyle DE}$ leikkaavat toisensa pisteessä ${\displaystyle F}$, niin

${\displaystyle DF=FE.}$

• Propositio 3. Olkoon ${\displaystyle P}$ mikä tahansa piste ympyrän segmentissä, jonka kanta on ${\displaystyle AB}$, ja olkoon ${\displaystyle PN}$ kohtisuorassa ${\displaystyle AB}$:tä vastaan. Valitaan piste ${\displaystyle D}$ suoralla ${\displaystyle AB}$ siten, että ${\displaystyle AN=ND}$. Jos nyt ${\displaystyle PQ}$ on kaari, joka on yhtä suuri kuin kaari ${\displaystyle PA}$, ja jos ${\displaystyle BQ}$ yhdistetään, niin

${\displaystyle BQ}$ ja ${\displaystyle BD}$ ovat yhtä suuret.

• Propositio 4. Jos ${\displaystyle AB}$ on puoliympyrän halkaisija ja ${\displaystyle N}$ mikä tahansa piste ${\displaystyle AB}$:llä, ja jos puoliympyröitä piirretään alkuperäisen puoliympyrän sisään käyttäen halkaisijoina ${\displaystyle AN}$ ja ${\displaystyle BN}$, niin kolmen puoliympyrän kehien rajaama kuvio on se, “mitä Arkhimedes kutsui nimellä arbēlos (ἄρβηλος, ’suutarin veitsi’)”; ja sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on ${\displaystyle PN}$, missä ${\displaystyle PN}$ on kohtisuorassa ${\displaystyle AB}$:tä vastaan ja leikkaa alkuperäisen puoliympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$.
• Propositio 5. Olkoon ${\displaystyle AB}$ puoliympyrän halkaisija, ${\displaystyle C}$ mikä tahansa piste ${\displaystyle AB}$:llä ja ${\displaystyle CD}$ kohtisuora siihen. Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat ${\displaystyle AC}$ ja ${\displaystyle CB}$. Jos tällöin piirretään kaksi ympyrää, jotka koskettavat ${\displaystyle CD}$:tä sen eri puolilta ja kumpikin koskettaa kahta puoliympyrää, niin nämä ympyrät ovat yhtä suuret.
• Propositio 6. Olkoon ${\displaystyle AB}$, puoliympyrän halkaisija, jaettu pisteessä ${\displaystyle C}$ siten, että ${\displaystyle AC={\tfrac {3}{2}}CB}$ (tai missä tahansa muussa suhteessa). Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat ${\displaystyle AC}$ ja ${\displaystyle CB}$, ja oletettakoon, että piirretty ympyrä koskettaa kaikkia kolmea puoliympyrää. Jos ${\displaystyle GH}$ on tämän ympyrän halkaisija, on löydettävä ${\displaystyle GH}$:n ja ${\displaystyle AB}$:n välinen suhde.
• Propositio 7. Jos neliön ympärille piirretään ympyrä ja sisään toinen ympyrä, niin ympäröivä ympyrä on kaksinkertainen sisempään ympyrään nähden.
• Propositio 8. Jos ${\displaystyle AB}$ on mikä tahansa jänne ympyrässä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, ja jos ${\displaystyle AB}$ jatketaan pisteeseen ${\displaystyle C}$ siten, että ${\displaystyle BC}$ on yhtä suuri kuin säde, ja jos edelleen ${\displaystyle CO}$ leikkaa ympyrän pisteessä ${\displaystyle D}$ ja sitä jatketaan leikkaamaan ympyrä toistamiseen pisteessä ${\displaystyle E}$, niin kaari ${\displaystyle AE}$ on kolme kertaa niin suuri kuin kaari ${\displaystyle BD}$.
• Propositio 9. Jos ympyrässä kaksi jännettä ${\displaystyle AB}$ ja ${\displaystyle CD}$, jotka eivät kulje keskipisteen kautta, leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, niin

${\displaystyle ({\text{kaari }}AD)+({\text{kaari }}CB)=({\text{kaari }}AC)+({\text{kaari }}DB).}$

• Propositio 10. Oletetaan, että ${\displaystyle TA}$ ja ${\displaystyle TB}$ ovat kaksi ympyrän tangenttia ja että ${\displaystyle TC}$ leikkaa sen. Olkoon ${\displaystyle BD}$ jänne pisteen ${\displaystyle B}$ kautta ja yhdensuuntainen ${\displaystyle TC}$:n kanssa, ja olkoon ${\displaystyle AD}$:n ja ${\displaystyle TC}$:n leikkauspiste ${\displaystyle E}$. Jos nyt ${\displaystyle EH}$ piirretään kohtisuoraan ${\displaystyle BD}$:tä vastaan, se puolittaa sen pisteessä ${\displaystyle H}$.
• Propositio 11. Jos kaksi ympyrän jännettä ${\displaystyle AB}$ ja ${\displaystyle CD}$ leikkaavat toisensa suorassa kulmassa pisteessä ${\displaystyle O}$, joka ei ole keskipiste, niin

${\displaystyle AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2}=({\text{halkaisija}})^{2}}$.

• Propositio 12. Jos ${\displaystyle AB}$ on puoliympyrän halkaisija ja ${\displaystyle TP}$ ja ${\displaystyle TQ}$ tangentit siihen mistä tahansa pisteestä ${\displaystyle T}$, ja jos ${\displaystyle AQ}$ ja ${\displaystyle BP}$ yhdistetään ja ne leikkaavat toisensa pisteessä ${\displaystyle R}$, niin ${\displaystyle TR}$ on kohtisuorassa ${\displaystyle AB}$:tä vastaan.
• Propositio 13. Jos ympyrän halkaisija ${\displaystyle AB}$ leikkaa minkä tahansa jänteen ${\displaystyle CD}$, joka ei ole halkaisija, pisteessä ${\displaystyle E}$, ja jos ${\displaystyle AM}$ ja ${\displaystyle BN}$ piirretään kohtisuoraan ${\displaystyle CD}$:tä vastaan, niin

${\displaystyle CN=DM.}$

• Propositio 14. Olkoon ${\displaystyle ACB}$ puoliympyrä, jonka halkaisija on ${\displaystyle AB}$, ja olkoot ${\displaystyle AD}$ ja ${\displaystyle BE}$ yhtä pitkät osuudet mitattuina ${\displaystyle AB}$:tä pitkin pisteistä ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$. Kuvataan ${\displaystyle AD}$ ja ${\displaystyle BE}$ halkaisijoina puoliympyrät puoliympyrän ${\displaystyle ACB}$ puolelle, ja ${\displaystyle DE}$ halkaisijana puoliympyrä vastakkaiselle puolelle. Olkoon alkuperäisen puoliympyrän keskipisteen ${\displaystyle O}$ kautta ${\displaystyle AB}$:tä vastaan kohtisuora suora, joka leikkaa vastakkaiset puoliympyrät pisteissä ${\displaystyle C}$ ja ${\displaystyle F}$. Tällöin kaikkien puoliympyröiden kehien rajaaman kuvion (”jota Arkhimedes kutsuu nimellä salinon (σάλινον)”) pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on ${\displaystyle CF}$.
• Propositio 15. Olkoon ${\displaystyle AB}$ ympyrän halkaisija, ${\displaystyle AC}$ siihen piirretyn säännöllisen viisikulmion sivu ja ${\displaystyle D}$ kaaren ${\displaystyle AC}$ keskipiste. Yhdistetään ${\displaystyle CD}$ ja jatketaan sitä leikkaamaan ${\displaystyle BA}$:n jatke pisteessä ${\displaystyle E}$; yhdistetään ${\displaystyle AC}$ ja ${\displaystyle DB}$, jotka leikkaavat toisensa pisteessä ${\displaystyle F}$, ja piirretään ${\displaystyle FM}$ kohtisuoraan ${\displaystyle AB}$:tä vastaan.

Tällöin

${\displaystyle EM=({\text{ympyrän säde}}).}$

Lähteet

Kirjallisuutta

• Archimedes: Book of Lemmas. Teoksessa Heath, T. L. (toim.): The Works of Archimedes, s. 301–. Cambridge: Cambridge University Press, 1897. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)

Aiheesta muualla

• Geometry: Archimedes' Book of Lemmas Index Go Geometry. (englanniksi)