Seuraura
Kirk on luonut junioriuransa Sheffieldissä. Juniorivuosiensa alussa hän harjoitteli todella vähän, sillä hänen joukkueensa harjoitteli vain kerran viikossa. Kirk unelmoi pelaamisesta Steelers-joukkueessa ja harjoitteli omatoimisesti rullaluistimilla. Hän toimi kaudella 2014–2015 Sheffield Rapiersin C-nuorten kapteenina. Kaudella 2015–2016 Kirk voitti koko Englannin B-nuorten sarjan piste- ja maalipörssin tehoilla 60+38=98. Hän voitti kauden päätteeksi sarjan mestaruuden. Kirk pelasi ensi kertaa samalla kaudella vain 15-vuotiaana miesten peleissä. Hän pelasi Ison-Britannian toiseksi korkeimmalla sarjatasolla EPIHL-liigan Sheffield Steeldogsissa 15 runkosarja- ja kaksi pudotuspeliottelua sekä sarjatasoa alempana NIHL-liigan Sheffield Spartansissa seitsemän runkosarjaottelua.
Maaliskuussa 2016 Kirk teki kolmivuotisen oppisopimuksen Sheffield Steelersin EIHL-joukkueen kanssa. Hän pelasi joukkueessa kaudella 2016–2017 19 runkosarja- ja kahdeksan Challenge Cupin ottelua tehden kaksi maalia. Kirk pelasi vain 16-vuotiaana myös yhden ottelun Mestarien liigassa liigan avauskierroksella 20. elokuuta 2016 vieraissa itävaltalaista EC Salzburgia vastaan, mikä oli hänen ensimmäinen pelinsä miesten pääsarjassa. Kirk merkittiin Steelersin ylimääräiseksi hyökkääjäksi. Ensimmäisen miesten pääsarjamaalinsa hän teki Challenge Cupissa 29. lokakuuta 2016 Coventry Blazea vastaan. Suurimman osan kaudestaan Kirk pelasi lainalla EPIHL-liigan Sheffield Steeldogsissa, jonka toiseksi paras pistemies hän oli Arnoldas Bosasin jälkeen tehoilla 20+25=45.
Kauden 2017–2018 Kirk pelasi kokonaan Sheffield Steelersin EIHL-joukkueessa, jossa hän teki 52 runkosarjaottelussa tehot 9+7=16 ja yhdeksässä Challenge Cupin ottelussa yhden syöttöpisteen. Kirk edusti joukkuetta kauden aikana myös Continental Cupissa. Tuolla kaudella myös pelaajatarkkailijat alkoivat kiinnittää huomiota Kirkiin, ja sen myötä hän alkoi myös unelmoida pelaamisesta NHL:ssä.
Arizona Coyotes varasi Kirkin seitsemännellä kierroksella 189. pelaajana NHL:n varaustilaisuudessa 2018. Hänestä tuli kaikkien aikojen ensimmäinen Englannissa varaushetkellä pelannut pelaaja, joka oli myös pelannut koko uransa siihen asti Englannissa. Kirkiä aiemmin Isossa-Britanniassa kiekko-oppinsa saaneista pelaajista on varattu vain skotlantilaiset Tony Hand ja Colin Shields, joista ensimmäisenä mainittu pelasi varaushetkellä kotimaassaan. Syksyllä 2018 Kirk osallistui Coyotesin kehitysleirille. Samana kesänä hänet varasi myös OHL-joukkue Peterborough Petes koko CHL:n varaustilaisuuden yhdeksäntenä pelaajana. Kirk siirtyi joukkueeseen kaudeksi 2018–2019. Hän oli 26 osumallaan Petesin kolmanneksi paras maalintekijä. Kirk teki runkosarjassa kaikkiaan 47 tehopistettä. Kaudella 2019–2020 hän nousi joukkueen varakapteeniksi. Kirk teki 47 runkosarjaottelussa tehot 21+29=50. Maaliskuussa hän palasi Isoon-Britanniaan harjoitellakseen maajoukkueen kanssa.
Lokakuussa 2020 Peterborough Petes lainasi Kirkin toistaiseksi voimassa olevalla sopimuksella Ruotsin kolmanneksi korkeimmalle sarjatasolle HockeyEttan-joukkue Hanhals IF:ään. Helmikuussa 2021 hän palasi kotimaahansa Sheffield Steeldogsin joukkueeseen pelaamaan kolmanneksi korkeinta sarjatasoa NIHL:ää, joka oli kaudella 2020–2021 kuitenkin Britannian korkein pelattava sarjataso EIHL:n ja EPIHL:n peruttua kautensa koronaviruspandemian vuoksi. Keväällä Kirk pelasi Sheffield Steelersin joukkueessa EIHL Series -sarjaa, jonka eniten maaleja tehnyt brittipelaaja hän oli kymmenellä osumallaan. Kirk valittiin myös sarjan parhaaksi brittipelaajaksi.
Kesäkuussa 2021 Kirk teki kolmivuotisen NHL-tulokassopimuksen Arizona Coyotesin kanssa. Hänestä tuli kaikkien aikojen ensimmäinen englantilaissyntyinen ja Englannissa kiekko-oppinsa saanut NHL-sopimuksen tehnyt pelaaja. Kirk aloitti kauden 2021–2022 AHL-joukkue Tucson Roadrunnersissa. Hän pelasi siellä kahdeksan runkosarjaottelua tehopistein 2+1=3, kunnes Kirkin kausi päättyi polvivammaan jo marraskuussa 2021.
Kuntouduttuaan lähes vuoden kestäneestä loukkaantumisistaan marraskuussa 2022 Kirk pelasi yhden ottelun Tucson Roadrunnersin AHL-joukkueesssa, kunnes hänet lähetettiin ECHL-joukkue Atlanta Gladiatorsin vahvuuteen. Kirk pelasi siellä 15 ottelua tehopistein 5+6=11, kunnes joulukuussa Coyotes lainasi hänet loppukauden 2022–2023 kattavalla sopimuksella SM-liigajoukkue Jukureihin. Hän teki liigadebyyttinsä 3. tammikuuta 2023 vieraissa Tapparaa vastaan, jolloin Kirkistä tuli SM-liigan historian kaikkien aikojen ensimmäinen Britanniassa kiekko-oppinsa saanut pelaaja. Ennen häntä britannialaissyntyisistä pelaajista SM-liigassa oli pelannut vain Matt Smith Ilveksessä vuosina 2000–2002. Kirk sai ottelussa myös syöttöpisteen. Hän pelasi SM-liigassa kaikkiaan 25 runkosarjaottelua ja teki seitsemän maalia ja 19 tehopistettä. Kirkin NHL-sopimus raukesi syksyllä 2023 ja hän siirtyi Tšekin Extraligan HC Litvínoviin.
Maajoukkueura
Kirk edusti Britanniaa maailmanmestaruuskilpailuissa vuosina 2019 ja 2021. Hän jakoi seitsemällä osumallaan koko jälkimmäisen turnauksen maalipörssin voiton Kanadan Andrew Mangiapanen kanssa. Alkulohkon ottelussa 26. toukokuuta 2021 Valko-Venäjää vastaan Kirk teki kaksi maalia, kun Britannia voitti ottelun lukemin 3–4. Voitto oli joukkueelle historiallinen, sillä edellisen kerran Britannia oli voittanut ottelun MM-kilpailujen ylimmällä tasolla vuonna 1962. Kirk valittiin joukkueensa ottelun parhaaksi pelaajaksi. Kirk valittiin koko turnauksen tähdistökentälliseen ja valmentajat valitsivat hänet Britannian turnauksen yhdeksi kolmesta parhaasta pelaajasta.
Kirk on pelannut IA-divisioonan maailmanmestaruuskilpailuissa vuosina 2018 ja 2023. Molempina kertoina Britannia voitti kultaa. Vuonna 2018 hän oli nostamassa joukkuetta 25 vuoden tauon jälkeen maailmanmestaruuskilpailujen pääsarjatasolle. Vuonna 2023 hän teki 5 ottelussa pisteet 3+7 ja voitti turnauksen syöttötilaston.
Kirk pelasi myös alle 20-vuotiaiden IB-divisioonan maailmanmestaruuskilpailuissa vuonna 2017 sekä IIA-divisioonan maailmanmestaruuskilpailuissa vuosina 2018 ja 2019, joista molemmat turnaukset päättyivät pronssiin. Hän voitti tehoilla 7+7=14 koko vuoden 2018 turnauksen piste- ja maalipörssin sekä jakoi syöttöpörssin voiton Viron Andre Linden ja Etelä-Korean Park Min-kyun kanssa. Kirk valittiin koko turnauksen parhaaksi hyökkääjäksi. Hänellä oli myös turnauksen paras aloitusprosentti (71,43 %). Vuoden 2019 turnauksessa Kirk toimi Britannian kapteenina. Hän voitti tehoilla 5+9=14 koko turnauksen piste- ja syöttöpörssin sekä jakoi maalipörssin voiton joukkuetovereidensa Joshua Wallerin ja Jordan Buesan kanssa. Kirk voitti myös turnauksen tehotilaston lukemalla +8. Hänet valittiin turnauksen parhaaksi hyökkääjäksi ja joukkueensa turnauksen parhaaksi pelaajaksi.
Kirk pelasi myös alle 18-vuotiaiden IIA-divisioonan maailmanmestaruuskilpailuissa vuosina 2016, 2017 ja 2018, joista kahdessa jälkimmäisessä turnauksessa hän toimi Britannian kapteenina. Kirk sijoittui koko vuoden 2017 turnauksen piste- ja maalipörssissä toiseksi edellään vain Romanian Andrei Vasile. Hänellä oli myös turnauksen paras aloitusprosentti (62,75 %). Vuoden 2018 turnaus päättyi kultaan ja sarjanousuun IB-divisioonaan.
