Seuraura
Birnerin kasvattajaseura on HC Litoměřice, mutta hän siirtyi jo junioriuransa aikana HC Slavia Prahaan, jossa Birner voitti Tšekin B-nuorten mestaruuden vuonna 2001. Hän debytoi miesten peleissä 17-vuotiaana kaudella 2003–2004. Birner pelasi kauden aikana Extraligassa yhden ottelun ja suurin osa hänen kaudestaan kului vielä Tšekin A-nuorissa. St. Louis Blues varasi Birnerin neljännellä kierroksella 116. pelaajana NHL:n varaustilaisuudessa 2004. Samana kesänä hänet varasi myös OHL-joukkue Barrie Colts kahdeksantena pelaajana CHL:n varaustilaisuudessa.
Kaudeksi 2004–2005 Birner siirtyi Barrie Coltsiin, mutta hän siirtyi kesken kauden toiseen OHL-seuraan, Saginaw Spiritiin. Kaudella 2005–2006 hän oli tehoilla 31+54=85 joukkueen toiseksi paras pistemies, maalintekijä ja syöttäjä. Kevään 2006 pudotuspeleissä Birner jakoi tehoilla 1+3=4 Spiritin sisäisen pistepörssin voiton Patrick McNeillin kanssa. Kesäkuussa 2006 hän teki kolmivuotisen tulokassopimuksen St. Louis Bluesin kanssa ja siirtyi sen organisaatioon kaudeksi 2006–2007. Birner pelasi kautensa kokonaan farmissa, AHL-joukkue Peoria Rivermenin riveissä. Kesken toisen kautensa 2007–2008 hänet kaupattiin Anaheim Ducksiin, jonne siirtyivät myös Doug Weight ja seitsemännen kierroksen varausvuoro kesälle 2008 vaihdossa Andy McDonaldiin. Birnerin kausi kului jälleen kokonaan farmissa, loppukausi Ducksin farmijoukkue Portland Piratesissa.
Anaheim Ducksin uudeksi farmijoukkueeksi tuli kaudeksi 2008–2009 Des Moinesista kotoisin ollut Iowa Chops. Birner pelasi joukkueessa kaksi ottelua, kunnes hänet pudotettiin marraskuussa 2008 sarjatasoa alemmas ECHL-joukkue Bakersfield Condorsiin. Birner ei ehtinyt pelata joukkueessa otteluakaan, kun hän teki viikkoa myöhemmin loppukauden kattavan sopimuksen SM-liigajoukkue Pelicansin kanssa. Birner pelasi joukkueessa vain kuusi ottelua, kunnes hänen kautensa päättyi jo joulukuussa käsimurtumaan. Kaudeksi 2009–2010 Birner siirtyi Turun Palloseuraan. Hän teki SM-liigan yhden kauden piste-ennätyksensä ja oli tehoilla 15+30=45 joukkueen kolmanneksi paras pistemies ja toiseksi paras syöttäjä. Birner voitti Suomenmestaruuden keväällä 2010. Hän teki maaliskuussa 2010 vuoden mittaisen jatkosopimuksen TPS:n kanssa.
Kaudella 2010–2011 Birner kärsi loukkaantumisista ja pelasi vain 48 runkosarjaottelua tehden 17 tehopistettä. Hän loukkaantui ensimmäisen kerran jo harjoituskaudella ja oli polvivamman takia noin neljä viikkoa sivussa. Helmikuussa 2011 Birner joutui loppukaudeksi sivuun nilkkavamman takia. Maaliskuussa hän jatkoi sopimustaan taas vuodella. Birneristä tuli kaudella 2011–2012 TPS:n varakapteeni. Hän teki runkosarjassa 25 tehopistettä ja teki kevään 2012 pudotuspeleissä TPS:n ainoat kaksi maalia Villi kortti -kierroksella kahdessa ottelussa Oulun Kärppiä vastaan.
Toukokuussa 2012 Birner teki kaksivuotisen sopimuksen hänen kotimaassaan pelaavan KHL-joukkue Lev Prahan kanssa. Hän ei ehtinyt pelata joukkueessa kauden 2012–2013 aikana otteluakaan, kunnes Lev Praha lainasi hänet syyskuussa marraskuiseen Karjala-turnaukseen asti kestävään taukoon takaisin TPS:ään. Birner palasi Lev Prahaan kuitenkin jo lokakuun lopussa. Kaudella 2013–2014 hän nousi joukkueen varakapteeniksi ja eteni Levin kanssa Gagarin Cup -finaaleihin saakka. Metallurg Magnitogorsk vei kuitenkin mestaruuden seitsemän ottelun jälkeen voitoin 4–3.
Kaudeksi 2014–2015 Birner palasi SM-liigaan ja siirtyi vuoden mittaisella sopimuksella Kalevan Palloon. Hän oli joukkueen paras pistemies tehoilla 15+21=36. Kaudeksi 2015–2016 Birner palasi kotimaahansa ja siirtyi kolmivuotisella sopimuksella HC Liberecin riveihin. Hän oli joukkueen kolmanneksi paras pistemies tehoilla 13+26=39. Birner voitti kauden päätteeksi Tšekin-mestaruuden.
Birner siirtyi kaudeksi 2016–2017 vuoden mittaisella sopimuksella KHL-joukkue Traktor Tšeljabinskiin. Hän osoittautui kuitenkin pettymykseksi ja teki 12 ottelussa vain yhden syöttöpisteen. Loka-marraskuun 2016 vaihteessa Birner sai potkut Traktorista ja siirtyi loppukaudeksi Sveitsin National League A:n Fribourg-Gottéroniin.
Tšekki
