Normaali avaruus

Normaali avaruus on topologinen avaruus, joka toteuttaa seuraavat ehdot:

• Jos a ja b ovat mielivaltaisia avaruuden pisteitä, kummallakin on ympäristö, johon toinen ei kuulu. (Tämän ehdon toteuttavia avaruuksia sanotaan T₁-avaruuksiksi.)
• Mille tahansa avaruuden kahdelle pistevieraalle suljetulle joukolle ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ löytyy kaksi pistevierasta avointa joukkoa ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ siten, että ${\displaystyle S_{1}}$ on ${\displaystyle A_{1}}$:n osajoukko ja ${\displaystyle S_{2}}$ on ${\displaystyle A_{2}}$:n osajoukko. (Tämän ehdon toteuttavia avaruuksia sanotaan T₄-avaruuksiksi.)

Avaruus on siis normaali, jos se on sekä T₁- että T₄-avaruus. Joissakin kirjoissa käsitteiden "T₄" ja "normaali avaruus" nimet on vaihdettu keskenään. Tällöin normaali avaruus siis määritellään yllä olevan määritelmän T₄-avaruudeksi. Normaalin avaruuden määritelmä on esimerkki separaatioaksioomista.

Jokainen normaali avaruus on samalla säännöllinen ja Hausdorff-avaruus. Toisaalta on kuitenkin olemassa myös avaruuksia, jotka ovat Hausdorff-avaruuksia tai säännöllisiä, mutta eivät normaaleja.

Lähteet