Peitekuvaus

Peitekuvauksella tarkoitetaan topologiassa kuvausta, jonka voidaan epämuodollisesti ajatella kuvaavan monta kopiota avaruudesta itseensä.

Kansantajuinen selitys

Peitekuvauksella tarkoitetaan kuvausta, jossa lähtöavaruus ”peittää” toisen avaruuden useita kertoja siten, että paikallisesti kaikki näyttää samalta. Jokaisen pisteen ympärillä maaliavaruudessa eli perusavaruudessa on pieni alue, jonka alkukuvassa peiteavaruudessa on useita erillisiä kopioita tästä alueesta. Näistä jokainen kopio kuvautuu takaisin täsmälleen samaan osaan perusavaruutta. Oheisessa kuvassa perusavaruudesta on valittu pieni osa, jota on merkitty punaisella. Sitä vastaava alkukuva muodostaa monta punaista ympäristöä lähtöavaruudessa.

Tyypillinen esimerkki on reaalisuoran ja ympyrän välinen kuvaus ${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to S^{1}}$, ${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}}$. Tässä reaalisuora ”kiertyy” ympyrän ympärille äärettömän monta kertaa: jokainen ympyrän piste vastaa ääretöntä määrää reaalilukuja. Paikallisesti – kun katsotaan vain pientä osaa ympyrästä – peiteavaruus näyttää kuitenkin täsmälleen samalta kuin ympyrä itse.

Tällaista kuvausta käytetään usein, kun monimutkainen avaruus halutaan "avata" yksinkertaisempaan muotoon, esimerkiksi kun tutkitaan, kuinka monta kertaa jokin polku kiertää ympyrän ympäri.

Määritelmä

Olkoot ${\displaystyle {\mathcal {X}}=(X,{\mathcal {T}}_{1})}$ ja ${\displaystyle {\mathcal {Y}}=(Y,{\mathcal {T}}_{2})}$ topologisia avaruuksia ja olkoon ${\displaystyle p\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ niiden välinen surjektio.

Kuvaus ${\displaystyle p}$ on peitekuvaus, jos jokaiselle pisteelle ${\displaystyle y\in Y}$ on olemassa ympäristö ${\displaystyle V_{y}\subset {\mathcal {Y}}}$, jonka alkukuva ${\displaystyle p^{\leftarrow }[V_{y}]}$ on sellaisten erillisten joukkojen ${\displaystyle U_{j}\subset {\mathcal {X}}}$ avoin peite, joille on olemassa upotus ${\displaystyle p_{j}\colon U_{j}\approx V_{y}}$. Tällöin ympäristöä ${\displaystyle V_{y}}$ kutsutaan peitekuvauksen ${\displaystyle p}$ peiteympäristöksi.

Toisin sanoen kuvaukselle ${\displaystyle p}$ pätee, että $${\displaystyle p^{\leftarrow }[V_{y}]=\bigcup _{j\in J}U_{j}.}$$

Peiteavaruutta kutsutaan toisinaan myös peitteeksi. Peitekuvauksen ${\displaystyle p\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ lähtöjoukkoa ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ sanotaan ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$:n peiteavaruudeksi. Jokaista ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$:n alkion ${\displaystyle y}$ alkukuvaa kutsutaan säikeeksi. Yleensä vaihdannaisissa kaavioissa ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ asetetaan ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$:n yläpuolelle, jolloin ${\displaystyle p}$ osoittaa "alaspäin". Tätä sanotaan kuvauksen nostoksi, tai tarkemmin, p-nostoksi.

Esimerkkejä

Yksi klassisimmista esimerkeistä on peitekuvaus

$${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to S^{1},\quad x\mapsto e^{2\pi ix}.}$$ Intuitiivisesti voidaan ajatella, että reaalisuora on kierretty spiraaliksi, joka "peittää" ympyrän äärettömän monta kertaa. Jokaisella ympyrän pisteellä on pieni avoin kaari, jonka alkukuva ${\displaystyle p^{\leftarrow }[U]}$ koostuu äärettömästä määrästä erillisiä avoimia välejä reaalisuoralla, ja jokainen näistä väleistä kuvautuu homeomorfisesti kyseiselle kaarelle.

Toinen esimerkki saadaan avoimesta peitteestä, joka on peitekuvauksen erikoistapaus, kun lähtöavaruus on erillinen yhdiste joukkoja ${\displaystyle X_{i}\subset X}$ ja kuvaus on identtinen kunkin osan rajoituksella.

Nosto ja peitekuvaukset

Peitekuvauksiin liittyy tärkeä käsite nimeltä nosto. Jos peitekuvauksen ${\displaystyle p\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ ja jatkuvan kuvauksen ${\displaystyle f\colon {\mathcal {Z}}\to {\mathcal {Y}}}$ välillä on olemassa jatkuva kuvaus ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\mathcal {Z}}\to {\mathcal {X}}}$ siten, että

${\displaystyle p\circ {\tilde {f}}=f,}$

sanotaan ${\displaystyle {\tilde {f}}}$:n olevan kuvauksen ${\displaystyle f}$ nosto peiteavaruuteen ${\displaystyle X}$. Nostot ovat topologiassa tärkeitä esimerkiksi perusryhmien tutkimuksessa, koska ne mahdollistavat polkujen ja homotopioiden yksikäsitteisen nostamisen peiteavaruuteen.

Nostojen yksikäsitteisyyttä käsittelee niin sanottu nostolause:

Jos ${\displaystyle p\colon {\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ on peitekuvaus, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ on yhtenäinen topologinen avaruus ja ${\displaystyle f\colon {\mathcal {Z}}\to {\mathcal {Y}}}$ jatkuva kuvaus, jolle ${\displaystyle f(z_{0})=p(x_{0})}$, niin on olemassa yksikäsitteinen nosto ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon {\mathcal {Z}}\to {\mathcal {X}}}$, jolle ${\displaystyle {\tilde {f}}(z_{0})=x_{0}}$.

Tämä ominaisuus tekee peitekuvauksista käyttökelpoisia erityisesti silloin, kun halutaan analysoida silmukoita ja niiden homotopisia ominaisuuksia perusavaruudessa ${\displaystyle Y}$.

Yhteys perusryhmään

Peitekuvaukset muodostavat keskeisen työkalun algebrallisessa topologiassa ja erityisesti perusryhmän määrittämisessä.

Esimerkiksi ympyrän ${\displaystyle S^{1}}$ peitekuvauksen

$${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \to S^{1},\quad x\mapsto e^{2\pi ix},}$$

avulla voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuryhmän ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ kanssa.

Jokainen silmukka ${\displaystyle \alpha \in \Omega (S^{1},1)}$ voidaan nostaa poluksi ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$ siten, että ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(0)=0}$ ja ${\displaystyle p\circ {\tilde {\alpha }}=\alpha .}$ Noston päätepiste ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(1)}$ kertoo, kuinka monta kertaa ja mihin suuntaan silmukka kiertää ympyrän ympäri:

• jos ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(1)=n}$, silmukka kiertää ${\displaystyle n}$ kertaa myötäpäivään,

• jos ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(1)=-n}$, se kiertää ${\displaystyle n}$ kertaa vastapäivään,

• jos ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(1)=0}$, silmukka on supistettavissa pisteeseen.

Näin muodostuva kuvaus

$${\displaystyle \varphi \colon \pi _{1}(S^{1},1)\to \mathbb {Z} ,\quad [\alpha ]\mapsto {\tilde {\alpha }}(1),}$$

on bijektio, joten saadaan isomorfia

$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},1)\cong \mathbb {Z} .}$$

Tämä tulos on klassinen esimerkki siitä, kuinka peitekuvauksia ja nostojen yksikäsitteisyyttä voidaan käyttää topologisten avaruuksien algebralliseen luokitteluun.

Lähteet

• Huhtamäki, Hermanni: Perusryhmä ja topologisien avaruuksien luokittelu. (Kandidaatintyö) Aalto-yliopisto, 19.12.2023. URN:NBN:fi:aalto-202312277644 Teoksen verkkoversio Aalto-yliopiston julkaisuarkistossa (pdf) Viitattu 16.5.2025.