Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa.

Matemaattinen kuvaus

Tehtävänä on laskea integraali ${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)dz}$, missä ${\displaystyle \Gamma }$ on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja ${\displaystyle f(z)}$ on analyyttinen ${\displaystyle \Gamma }$:ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä ${\displaystyle z_{0}}$. Tällöin funktio ${\displaystyle f(z)}$ voidaan esittää Laurentin sarjana

${\displaystyle f(z)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }a_{j}(z-z_{0})^{j}}$.

Tästä integraalin arvoksi saadaan

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }f(z)dz=2\pi ia_{-1}}$.

Tässä kerrointa ${\displaystyle a_{-1}}$ kutsutaan funktion ${\displaystyle f}$ residyksi pisteessä ${\displaystyle z_{0}}$ ja sitä merkitään ${\displaystyle Res(f;z_{0})}$ tai lyhyemmin ${\displaystyle Res(z_{0})}$.

Esimerkki

Tarkastellaan funktiota ${\displaystyle f(z)=ze^{3/z}}$ ja lasketaan sille polkuintegraali ${\displaystyle \int \limits _{,|z|=4}ze^{3/z}dz}$ pitkin ympyrän kehää ${\displaystyle |z|=4}$.

Ratkaisu: Tiedetään, että funktiolla on residy ${\displaystyle Res(z_{0})}$ pisteessä ${\displaystyle z=0}$. Funktiolla ${\displaystyle e^{\omega }}$ on Taylorin sarja ${\displaystyle e^{\omega }=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{j}}{j!}}}$. Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle ${\displaystyle ze^{3/z}}$ pisteen ${\displaystyle z=0}$ ympäristössä

${\displaystyle ze^{3/z}=z\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\left({\frac {3}{z}}\right)^{j}=z+3+{\frac {3^{2}}{2!}}z^{-1}+{\frac {3^{3}}{3!}}z^{-2}+\cdots }$.

Tällöin ${\displaystyle Res(0)={\frac {3^{2}}{2!}}={\frac {9}{2}}}$.

Koska piste ${\displaystyle z=0}$ on funktion ${\displaystyle f(z)}$ ainoa nollakohta ympyrän ${\displaystyle |z|=4}$ sisällä, saadaan integraalin arvoksi ${\displaystyle \int \limits _{,|z|=4}ze^{3/z}dz=2\pi i{\frac {9}{2}}=9\pi i}$.

Lähteet

• Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Kirjallisuutta

• Väisälä, Kalle: Matematiikka IV. (141, 10. painos) Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5
• Lehto, Olli: Funktioteoria I–II. Helsinki: Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951-745-077-X
• Spiegel, Murray R. & Lipschutz, Seymour & Schiller, John J. &; Spellman, Dennis: Complex Variables. (Shaum's Outline Series) McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-3 Teoksen verkkoversio.