Junioriura
Cushing Academyssä pelaamisen jälkeen Bourque päätti seurata isänsä jalanjälkiä ja siirtyi pelaamaan juniorikiekkoa QMJHL-sarjaan Quebec Rempartsin joukkueeseen, joka oli varannut hänet seitsemäntenä pelaajana. Hän pelasi seurassa isänsä vanhan joukkuetoverin Patrick Royn alaisuudessa. Kaudella 2009–2010 Bourque teki 19 maalia ja 24 syöttöä ja kokonaisuudessaan 43 tehopistettä 44 ottelussa. Hänen tehopisteensä toivat tulokaspörssin 10. sijan, vaikka hän oli pelannut yli 20 ottelua loukkaantumisten ja maajoukkuekutsujen vuoksi. Pudotuspeleissä Bourque teki yhdeksässä ottelussa 10 pistettä. Kaudella 2010–2011 hän teki 26 maalia ja 69 tehopistettä ja sijoittui sarjan pistepörssissä sijalle 37, pelaten vain 49 ottelua. Joukkueen sisäisessä pistepörssissä hän oli kolmas. QMJHL:n pudotuspeleissä 2011 Bourque teki 16 pistettä, joilla hän sijoittui pudotuspelien pistepörssin 13.
16. maaliskuuta 2011 Bourque teki kolmivuotisen tulokassopimuksen New York Rangersin kanssa. Ammattilaisuransa ensimmäisen ottelunsa hän pelasi 8. lokakuuta Rangersin farmiseurassa AHL:n Connecticut Whalessa. Bourque pelasi koko kolmevuotisen sopimuksensa Rangersin farmissa Connecticut Whalessa ja Hartford Wolf Packissa. Kaudella 2013–2014 Bourque teki 74 ottelussa 21 maalia ja yhteensä 37 tehopistettä. Hän oli joukkueensa toiseksi paras maalintekijä, ja hän voitti tehotilaston saldolla +16. Kauden jälkeen Bourque ja Rangers tekivät jatkosopimuksen.
Bourque debytoi NHL:ssä huhtikuussa 2015. Se oli hänen ainoa Rangersissa. Hän pelasi farmiseura Wolf Packissa helmikuulle 2016, jolloin Washington Capitals hankki hänet vaihdossa Chris Browniin. Loppukauden Bourque pelasi Washingtonin farmiseurassa Hershey Bearsissa, ja kauden jälkeen hän teki AHL-sopimuksen Bearsin kanssa.
Maajoukkueura
Kaksoiskansalaisuuden vuoksi Bourquella oli mahdollisuus valita kumpaa maajoukkuetta edustaa, Kanadaa vai Yhdysvaltoja. Bourque valitsi Yhdysvallat. Hän voitti pronssimitalin alle 18-vuotiaiden MM-kilpailuissa 2008 ja seuraavana vuonna samasta turnauksesta kultamitalin. Hän teki vuoden 2008 kisoissa 7 ottelussa tehot 2+3=5 ja seuraavana vuonna 7 ottelussa tehot 1+6=7.
Seuraavana vuonna hän oli osana Yhdysvaltojen joukkuetta, joka voitti nuorten MM-kultaa vuonna 2010. Hän ei tehnyt turnauksessa maaleja, mutta keräsi kolme syöttöpistettä. Vuoden 2011 nuorten MM-kisoissa Bourque toimi Yhdysvaltojen varakapteenina joukkueen voittaessa pronssia.
Yhdysvallat
Kultaa
Pronssia