Pelaajaura
Vesce pelasi kaudet 2000–2004 Cornellin yliopiston joukkueessa NCAA:n alaisessa ECAC-sarjassa. Kausi 2002–2003 oli Vescen paras yliopistosarjoissa, sillä hän teki 45 pistettä 36 ottelussa. Cornellin yliopiston joukkue voitti lisäksi ECAC:n mestaruuden.
Kaudeksi 2004–2005 Vesce siirtyi Ruotsin Allsvenskaniin Röglen joukkueeseen. Röglestä hän palasi Pohjois-Amerikkaan, kun hän teki syyskuussa 2005 sopimuksen AHL-joukkue Springfield Falconsin kanssa. Vesce oli Springfieldin paras pistemies 67 pisteellään. Hän pelasi kauden aikana myös AHL:n tähdistöottelussa. Ottawa Senators teki kesällä 2006 sopimuksen Vescen kanssa. Hän pelasi kuitenkin koko kauden Ottawan farmijoukkueessa AHL:n Binghamton Senatorsissa.
Vesce siirtyi kaudeksi 2007–2008 SM-liigaan HIFK:hon. Hän oli HIFK:n paras maalintekijä ja pistemies. Vescen tehot olivat 56 pelissä 26+18. Hän teki uuden NHL-sopimuksen kaudeksi 2008–2009, kun hän siirtyi San Jose Sharksin organisaatioon. Ensimmäisen NHL-pelinsä Vesce pelasi 11. helmikuuta 2009 Pittsburgh Penguinsia vastaan. Vesce pelasi yhteensä 10 NHL-ottelua. San Josen farmijoukkue Worcester Sharksissa Vesce teki 71 pistettä, ja oli joukkueensa paras pistemies. Hän oli koko liigan 13:nneksi tehokkain pelaaja, ja pelasi toisen kerran urallaan AHL:n tähdistöottelussa. Toisella kaudellaan San Josessa Vesce pelasi yhdeksän ottelua NHL:ssä, ja pääosan kaudestaan hän edusti jälleen Worcesteria. Kesällä 2010 Vesce teki sopimuksen KHL:ssä pelaavan Torpedo Nižni Novgorodin kanssa.
Ensimmäisellä kaudellaan Torpedo Nižni Novgorodissa Vesce teki 48 pistettä 51 ottelussa. Toinen kausi joukkueessa meni kuitenkin pieleen loukkaantumisten takia. Vesce teki elokuussa 2012 niin kutsutun artistisopimuksen Elitserienin Skellefteån kanssa ja siirtyi joukkueeseen vasta lokakuussa, Elitserien-kauden jo alettua. Vesce pelasi Elitserienissä tammikuulle asti, jolloin siirtyi SM-liigaseura Espoo Bluesiin. Hän teki Skellefteåssa 22 ottelussa vain 6 pistettä.
Kaudeksi 2013–2014 Vesce palasi KHL-liigaan tehtyään sopimuksen kroatialaisseura KHL Medveščak Zagrebin kanssa.
Kaudet 2014–2015 ja 2015–2016 Vesce pelasi KHL-liigan Dinamo Minskin joukkueessa lähes piste per peli tahtia. Kausi 2016–2017 alkoi Traktor Tšeljabinskin joukkueessa, mutta otteluita kertyi vain seitsemän. Tammikuussa 2017 Vesce siirtyi Sveitsiin Fribourg-Gottéronin joukkueeseen. Jo joulukuussa Vesce oli lainalla HC Luganon joukkueessa heidän pelatessaan Sprengler-cupissa. Uransa viimeisen ammattilaiskauden Vesce pelasi Sveitsin toisella sarjatasolla EHC Oltenissa.
Yhdysvallat