Seurajoukkueura
Nuorena myös lentopalloa harrastanut ja Iranin nuorten maajoukkueissakin sitä pelannut Azmoun aloitti ammattilaisuransa vuonna 2011 iranilaisessa Sepahan FC:ssä. Hän edusti seuraa kaksi vuotta, muttei pelannut Iran Pro Leaguessa yhtään ottelua. Hän voitti kuitenkin sarjan kaudella 2011–2012.
Tammikuussa 2013 Azmoun siirtyi Venäjän valioliigan Rubin Kazaniin, jonka ykkösjoukkueessa hän debytoi heinäkuussa 2013 Eurooppa-liigan karsintaottelussa FK Jagodinaa vastaan historian nuorimpana iranilaispelaajana, joka pelaa ottelun Euroopassa. Lokakuussa 2013 Azmoun teki debyyttinsä Venäjän valioliigassa Anži Mahatškalaa vastaan onnistuen heti maalinteossa.
Helmikuussa 2015 Azmoun siirtyi lainalle Venäjän valioliigan FK Rostoviin, jossa hän pelasi loppukauden aikana 11 ottelua tehden niissä kolme maalia. Azmounin lainaa jatkettiin kauden 2015–2016 ajaksi. Hän siirtyi Rostoviin 2,3 miljoonan euron siirtosummalla kesällä 2016, mutta palasi takaisin Rubin Kazaniin ilmaissiirrolla vuotta myöhemmin. Hän pelasi Rubin Kazanissa kaikkiaan 67 Venäjän Valioliigan ottelua ja teki 14 maalia. Rostovissa pelaamissaan 62 Venäjän pääsarjaottelussa hän teki 19 maalia. Mestarien liigassa hän pelasi Rostovissa kuusi ottelua ja teki kaksi maalia, Eurooppa-liigassa neljä ottelua, joissa teki yhden maalin.
Helmikuusta 2019 tammikuuhun 2022 Azmoun edusti Zenit Pietaria. Hän oli kaudella 2019–2020 Valioliigan paras maalintekijä 17 maalillaan ja seuraavalla kaudella toiseksi paras maalintekijä 19 maalillaan hänen joukkuetoverinsa Artjom Dzjuban tehtyä yhden maalin enemmän. Hän pelasi Zenitissä yhteensä 79 Valioliigan ottelua ja teki 52 maalia. Mestarien liigan 15 ottelussa hän viimeisteli neljä maalia, Eurooppa-liigan neljässä ottelussa kolme osumaa. Azmoun voitti Venäjän-mestaruuden neljä kertaa peräkkäin 2019–2022 sekä Venäjän cupin 2020 ja Venäjän supercupin 2020 ja 2021. Hänet valittiin Venäjän liigan vuoden pelaajaksi 2021.
Azmoun siirtyi Bayer Leverkuseniin 2,5 miljoonan euron siirtosummalla tammikuussa 2022. Hän on pelasi Leverkusenissa puolentoista vuoden aikana 32 bundesliigaottelua, joissa hän teki viisi maalia. Mestarien liigassa hän pelasi kaksi ja Eurooppa-liigassa yhdeksän ottelua. Hän pelasi kauden 2023–2024 lainalla AS Romassa. Hän pelasi lainakaudellaan Romassa 23 Serie A:n ottelua, joissa hän teki kolme maalia. Eurooppa-liigassa hän pelasi Roman pelaajana neljä ottelua.
Heinäkuussa 2024 Azmoun siirtyi arabiemiraattilaiseen Shabab Al-Ahliin 5 miljoonan euron siirtosummalla. Debyyttikaudellaan Shabab Al-Ahlissa hän pelasi 21 UAE Pro Leaguen ottelua, joissa hän teki 11 maalia.
Maajoukkueura
Azmoun on pelannut monissa Iranin nuorten maajoukkueissa. Alle 17-vuotiaissa, joita hän edusti vuosina 2009–2011, hän teki kuudessa pelissä seitsemän maalia. Vuodet 2011–2014 Azmoun kuului Iranin alle 20-vuotiaiden maajoukkueeseen, jossa hän viimeisteli 18 ottelussa 19 maalia.
Iranin A-maajoukkueessa Azmoun debytoi toukokuussa 2014 Montenegroa vastaan. Hänet nimettiin alustavaan ryhmään vuoden 2014 MM-kisoihin, mutta lopulta häntä ei valittu kisoihin. Avausmaalinsa maajoukkueessa Azmoun teki kolmannessa maaottelussaan marraskuussa 2014 Etelä-Korean verkkoon. Hän kuului Iranin joukkueeseen vuoden 2015 Aasian-mestaruuskilpailuissa, joissa hän onnistui kahdesti maalinteossa. MM-kilpailuissa 2018 hän pelasi täydet minuutit joukkueensa kaikissa kolmessa ottelussa. Aasian-mestaruuskilpailuissa 2019 Iran ylsi välieriin ja Azmoun teki turnauksen kuudessa ottelussaan neljä maalia. MM-kilpailuissa 2022 hän tuli Iranin ensimmäisessä ottelussa vaihdosta kentälle ja pelasi avauskokoonpanossa kahdessa muussa ottelussa.
Azmoun on maaliskuun 19. päivään 2026 mennessä pelannut Iranin A-maajoukkueessa 91 ottelua ja tehnyt niissä 57 maalia. Hän on tehnyt kolme maalia eli hattutempun kesäkuussa 2016 ystävyysottelussa Makedoniaa ja lokakuussa 2019 MM-karsintaottelussa Kambodžaa vastaan.
