Spiraalit

Spiraalit
Περὶ ἑλίκων
Alkuperäisteos
Kirjailija	Arkhimedes
Kieli	muinaiskreikka
Genre	matematiikka
Julkaistu	200-luku eaa.
Löydä lisää kirjojaKirjallisuuden teemasivulta
Infobox OK

Spiraalit (m.kreik. Περὶ ἑλίκων, Peri helikōn, lat. De lineis spiralibus tai De helicibus) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee erityisesti niin kutsuttua Arkhimedeen spiraalia.

Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksen Spiraalit, tai sananmukaisesti käännettynä Spiraaleista, hän osoitti ystävälleen Dosiheokselle. Wilbur Knorr luki teoksen Arkhimedeen kypsempien teosten joukkoon.

Teos on yksi Arkhimedeen vaikeimmista, ja vie matematiikkaa kohti differentiaali- ja integraalilaskentaa. Dositheokselle osoitetusta johdantokirjeestä käy ilmi, ettei Arkhimedes ollut kyennyt esittämään teoksen lauseita tyydyttävässä muodossa ilman pitkällisiä ja toistuvia yrityksiä, ja että Konon, jolle hän oli lähettänyt ne ongelmina yhdessä useiden muiden kanssa, oli kuollut saattamatta niiden ratkaisua päätökseen.

Sisältö

Teos sisältää 28 propositiota. Propositiot 1–11 ovat johdannollisia; propositiot 13–20 käsittelevät Arkhimedeen spiraalina tunnetun käyrän tangenttiominaisuuksia. Kyseinen spiraali syntyy, kun piste liikkuu tasaisesti pitkin suoraa, joka samanaikaisesti pyörii tasaisesti yhdessä tasossa toisen päätepisteensä ympäri. Propositioissa 21–28 osoitetaan, miten voidaan ilmaista pinta-ala, joka jää minkä tahansa käyrän osan ja sen päätepisteisiin piirrettyjen säteiden väliin.

Arkhimedeen propositiot ovat:

• Propositio 1. Jos piste liikkuu tasaisella nopeudella mitä tahansa suoraa pitkin ja suoralta otetaan kaksi pituutta, nämä pituudet ovat verrannollisia niiden kulkemiseen kuluviin aikoihin.
• Propositio 2. Jos kaksi pistettä liikkuu kumpikin tasaisella nopeudella omilla suorillaan, ja jos kummaltakin suoralta otetaan pituuksia pareittain siten, että kukin pari kuljetaan yhtä pitkissä ajoissa, pituudet ovat verrannollisia.
• Propositio 3. Kun annetaan mikä tahansa määrä ympyröitä, on mahdollista löytää suora, joka on pitempi kuin kaikkien niiden kehäpituuksien summa.
• Propositio 4. Kun annetaan kaksi erisuurta janaa, nimittäin suora jana ja ympyrän kehä, on mahdollista löytää suora jana, joka on lyhyempi kuin suurempi näistä kahdesta ja pitempi kuin pienempi.
• Propositio 5. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, ja siihen pisteessä ${\displaystyle A}$ piirretty tangentti, on mahdollista piirtää keskipisteestä ${\displaystyle O}$ suora ${\displaystyle OPF}$, joka leikkaa ympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$ ja tangentin pisteessä ${\displaystyle F}$, siten että jos ${\displaystyle c}$ on minkä tahansa annetun ympyrän kehä, niin

${\displaystyle FP:OP<({\text{kaari }}AP):c.}$

• Propositio 6. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, jänne ${\displaystyle AB}$, joka on halkaisijaa lyhyempi, ja keskipisteestä ${\displaystyle O}$ jänteelle ${\displaystyle AB}$ piirretty kohtisuora ${\displaystyle OM}$, on mahdollista piirtää suora ${\displaystyle OFP}$, joka leikkaa jänteen ${\displaystyle AB}$ pisteessä ${\displaystyle F}$ ja ympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$, siten että

${\displaystyle FP:PB=D:E,}$

missä ${\displaystyle D:E}$ on mikä tahansa annettu suhde, joka on pienempi kuin ${\displaystyle BM:MO.}$

• Propositio 7. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, jänne ${\displaystyle AB}$, joka on halkaisijaa lyhyempi, ja keskipisteestä ${\displaystyle O}$ jänteelle ${\displaystyle AB}$ piirretty kohtisuora ${\displaystyle OM}$, on mahdollista piirtää keskipisteestä ${\displaystyle O}$ suora ${\displaystyle OPF}$, joka leikkaa ympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$ ja jänteen ${\displaystyle AB}$ jatkeen pisteessä ${\displaystyle F}$, siten että

${\displaystyle FP:PB=D:E}$,

missä ${\displaystyle D:E}$ on mikä tahansa annettu suhde, joka on suurempi kuin ${\displaystyle BM:MO}$.

• Propositio 8. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, jänne ${\displaystyle AB}$, joka on halkaisijaa lyhyempi, tangentti pisteessä ${\displaystyle B}$ sekä keskipisteestä ${\displaystyle O}$ jänteelle ${\displaystyle AB}$ piirretty kohtisuora ${\displaystyle OM}$, on mahdollista piirtää keskipisteestä ${\displaystyle O}$ suora ${\displaystyle OFP}$, joka leikkaa jänteen ${\displaystyle AB}$ pisteessä ${\displaystyle F}$, ympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$ ja tangentin pisteessä ${\displaystyle G}$, siten että

${\displaystyle FP:BG=D:E,}$

missä ${\displaystyle D:E}$ on mikä tahansa annettu suhde, joka on pienempi kuin ${\displaystyle BM:MO.}$

• Propositio 9. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$, jänne ${\displaystyle AB}$, joka on halkaisijaa lyhyempi, tangentti pisteessä ${\displaystyle B}$ sekä keskipisteestä ${\displaystyle O}$ jänteelle ${\displaystyle AB}$ piirretty kohtisuora ${\displaystyle OM}$, on mahdollista piirtää keskipisteestä ${\displaystyle O}$ suora ${\displaystyle OPGF}$, joka leikkaa ympyrän pisteessä ${\displaystyle P}$, tangentin pisteessä ${\displaystyle G}$ ja jänteen ${\displaystyle AB}$ jatkeen pisteessä ${\displaystyle F}$, siten että

${\displaystyle FP:BG=D:E,}$

missä ${\displaystyle D:E}$ on mikä tahansa annettu suhde, joka on suurempi kuin ${\displaystyle BM:MO.}$

• Propositio 10. Jos ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}}$ ovat ${\displaystyle n}$ janaa, jotka muodostavat kasvavan aritmeettisen lukujonon, jossa yhteinen erotus on yhtä suuri kuin pienin termi ${\displaystyle A_{1}}$, niin

${\displaystyle (n+1){A_{n}}^{2}+A_{1}(A_{1}+A_{2}+...+A_{n})=3({A_{1}}^{2}+{A_{2}}^{2}+...+{A_{n}}^{2}).}$

• Propositio 11. Jos ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ ovat ${\displaystyle n}$ janaa, jotka muodostavat kasvavan aritmeettisen lukujonon (jossa yhteinen erotus on yhtä suuri kuin pienin termi ${\displaystyle A_{1}}$), niin

${\displaystyle {(n-1){A_{n}}^{2}}:({{A_{n}}^{2}+{A_{n-1}}^{2}+...+{A_{2}}^{2}})<{{A_{n}}^{2}}:({A_{n}A_{1}+{\tfrac {1}{3}}(A_{n}-A_{1})^{2}})}$

mutta

${\displaystyle {(n-1){A_{n}}^{2}}:({{A_{n-1}}^{2}+{A_{n-2}}^{2}+...+{A_{1}}^{2}})>{{A_{n}}^{2}}:({A_{n}A_{1}+{\tfrac {1}{3}}(A_{n}-A_{1})^{2}})}$

• Propositio 12. Jos origosta spiraaliin piirretyt useat suorat tekevät keskenään yhtä suuret kulmat, nämä suorat muodostavat aritmeettisen lukujonon.
• Propositio 13. Jos suora sivuaa spiraalia, se sivuaa sitä vain yhdessä pisteessä.
• Propositio 14. Jos ${\displaystyle O}$ on origo ja ${\displaystyle P}$ ja ${\displaystyle Q}$ ovat pisteitä spiraalin ensimmäisellä kierroksella, ja jos ${\displaystyle OP}$ ja ${\displaystyle OQ}$ jatkettuina leikkaavat “ensimmäisen ympyrän” ${\displaystyle AKP'Q'}$ pisteissä ${\displaystyle P'}$ ja ${\displaystyle Q'}$ (${\displaystyle OA}$ ollessa alkusuora), niin

${\displaystyle OP:OQ=({\text{kaari }}AKP'):({\text{kaari }}AKQ').}$

• Propositio 15. Jos ${\displaystyle P}$ ja ${\displaystyle Q}$ ovat pisteitä spiraalin toisella kierroksella, ja ${\displaystyle OP}$ ja ${\displaystyle OQ}$ leikkaavat “ensimmäisen ympyrän” ${\displaystyle AKP'Q'}$ pisteissä ${\displaystyle P'}$ ja ${\displaystyle Q'}$ kuten edellisessä propositiossa, ja jos ${\displaystyle c}$ on ensimmäisen ympyrän kehä, niin

${\displaystyle OP:OQ=c+({\text{kaari }}AKP'):c+({\text{kaari }}AKQ').}$

• Propositiot 16 ja 17. Jos ${\displaystyle BC}$ on spiraalin tangentti pisteessä ${\displaystyle P}$, missä ${\displaystyle PC}$ on ${\displaystyle BC}$:n “eteenpäin suuntautuva” osa, ja jos ${\displaystyle OP}$ yhdistetään, niin kulma ${\displaystyle OPC}$ on tylppä, kun taas kulma ${\displaystyle OPB}$ on terävä.
• Propositiot 18 ja 19. (1) Jos ${\displaystyle OA}$ on alkusuora ja ${\displaystyle A}$ on spiraalin ensimmäisen kierroksen loppupiste, ja jos spiraalin tangentti pisteessä ${\displaystyle A}$ piirretään, suora ${\displaystyle OB}$, joka piirretään ${\displaystyle O}$:sta kohtisuoraan ${\displaystyle OA}$:ta vastaan, leikkaa tämän tangentin jossakin pisteessä ${\displaystyle B}$, ja ${\displaystyle OB}$ on yhtä suuri kuin “ensimmäisen ympyrän” kehä.

(2) Jos ${\displaystyle A'}$ on toisen kierroksen loppupiste, kohtisuora ${\displaystyle OB}$ leikkaa tangentin pisteessä ${\displaystyle A'}$ jossakin pisteessä ${\displaystyle B'}$, ja ${\displaystyle OB'}$ on yhtä suuri kuin ${\displaystyle 2\cdot {\text{(”toisen ympyrän” kehä)}}.}$

(3) Yleisesti, jos ${\displaystyle A_{n}}$ on ${\displaystyle n}$:nnen kierroksen loppupiste ja ${\displaystyle OB}$ leikkaa tangentin pisteessä ${\displaystyle A_{n}}$ pisteessä ${\displaystyle B_{n}}$, niin

${\displaystyle OB_{n}=nc_{n},}$

missä ${\displaystyle c_{n}}$ on ”${\displaystyle n}$:nnen ympyrän” kehä.

• Propositio 20. (1) Jos ${\displaystyle P}$ on mikä tahansa piste spiraalin ensimmäisellä kierroksella ja ${\displaystyle OT}$ piirretään kohtisuoraan ${\displaystyle OP}$:ta vastaan, ${\displaystyle OT}$ leikkaa spiraalin tangentin pisteessä ${\displaystyle P}$ jossakin pisteessä ${\displaystyle T}$; ja jos ympyrä, jonka keskipiste on ${\displaystyle O}$ ja säde ${\displaystyle OP}$, leikkaa alkusuoran pisteessä ${\displaystyle K}$, niin ${\displaystyle OT}$ on yhtä suuri kuin tämän ympyrän kaari ${\displaystyle KP}$, mitattuna spiraalissa ”eteenpäin”.

(2) Yleisesti, jos ${\displaystyle P}$ on piste spiraalin ${\displaystyle n}$:nnessä kierroksessa ja merkinnät ovat samat kuin edellä, ja jos ${\displaystyle p}$ on ympyrän, jonka säde on ${\displaystyle OP}$, kehä, niin

${\displaystyle OT=(n-1)p+{\text{kaari }}KP{\text{ (mitattuna ”eteenpäin”)}}.}$

• Propositiot 21, 22 ja 23. Kun annetaan alue, jota rajoittaa mikä tahansa spiraalin kaari ja kaaren päätepisteistä origoon piirretyt suorat, on mahdollista piirtää alueen ympärille yksi kuvio ja sen sisään toinen kuvio, jotka molemmat koostuvat samanlaisista ympyräsektoreista, siten että ympäröivä kuvio ylittää sisään piirretyn pinta-alalla, joka on pienempi kuin mikä tahansa annettu ala.
• Propositio 24. Spiraalin ensimmäisen kierroksen ja alkusuoran rajaama ala on yhtä suuri kuin yksi kolmasosa “ensimmäisen ympyrän” alasta

${\displaystyle [={\tfrac {1}{3}}\pi (2\pi a)^{2},]}$

missä spiraali on ${\displaystyle r=a\theta .}$

• Propositio 25. Jos ${\displaystyle A_{2}}$ on spiraalin toisen kierroksen loppupiste, toisen kierroksen ja ${\displaystyle OA_{2}}$:n rajaama ala on ”toisen ympyrän” alaan suhteessa ${\displaystyle 7:12}$; tämä on suhde ${\displaystyle (r_{2}r_{1}+{\tfrac {1}{3}}(r_{2}-r_{1})^{2}):{r_{2}}^{2}}$, missä ${\displaystyle r_{1}}$ ja ${\displaystyle r_{2}}$ ovat “ensimmäisen” ja “toisen” ympyrän säteet.
• Propositio 26. Jos ${\displaystyle BC}$ on mikä tahansa spiraalin kaari mitattuna ”eteenpäin” millä tahansa kierroksella, kuitenkaan olematta koko kierros, ja jos ympyrä piirretään keskipisteeseen ${\displaystyle O}$ säteellä ${\displaystyle OC}$ ja se leikkaa ${\displaystyle OB}$:n pisteessä ${\displaystyle B'}$, niin

${\displaystyle {\text{(spiraalin OB–OC rajaama ala)}}:{\text{(sektori OB′C)}}}$

${\displaystyle =({OC\cdot OB+{\tfrac {1}{3}}(OC-OB)^{2}}):OC^{2}.}$

• Propositio 27. Jos ${\displaystyle R_{1}}$ on spiraalin ensimmäisen kierroksen alkusuoran rajaama ala, ${\displaystyle R_{2}}$ on toisen täydellisen kierroksen lisäämä rengasala, ${\displaystyle R_{3}}$ kolmannen kierroksen lisäämä, ja niin edelleen, niin

${\displaystyle R_{3}=2R_{2},R_{4}=3R_{2},R_{5}=4R_{2},...,R_{n}=(n-1)R_{2};}$

ja lisäksi

${\displaystyle R_{2}=6R_{1}.}$

• Propositio 28. Jos ${\displaystyle O}$ on origo ja ${\displaystyle BC}$ mikä tahansa spiraalin kaari mitattuna ”eteenpäin” millä tahansa kierroksella, piirretään kaksi ympyrää: (1) keskipisteeseen ${\displaystyle O}$ säteellä ${\displaystyle OB}$, joka leikkaa ${\displaystyle OC}$:n pisteessä ${\displaystyle C'}$, ja (2) keskipisteeseen ${\displaystyle O}$ säteellä ${\displaystyle OC}$, joka leikkaa ${\displaystyle OB}$:n jatkeen pisteessä ${\displaystyle B'}$. Jos ${\displaystyle E}$ merkitsee suuremman kaaren ${\displaystyle B'C}$, janan ${\displaystyle B'B}$ ja spiraalin ${\displaystyle BC}$ rajaamaa alaa, ja ${\displaystyle F}$ pienemmän kaaren ${\displaystyle BC'}$, janan ${\displaystyle CC'}$ ja spiraalin ${\displaystyle BC}$ rajaamaa alaa, niin

${\displaystyle E:F=(OB+{\tfrac {2}{3}}(OC-OB)):(OB+{\tfrac {1}{3}}(OC-OB)).}$

Lähteet

Kirjallisuutta

• Archimedes: The Spiral of Archimedes. Teoksessa Greek Mathematical Works, s. 182–. (Volume II: Aristarchus to Pappus. Translated by Ivor Thomas. Loeb Classical Library 362) Cambridge, MA: Harvard University Press, 1941. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)
• Archimedes: On Spirals. Teoksessa Heath, T. L. (toim.): The Works of Archimedes, s. 151–. Cambridge: Cambridge University Press, 1897. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)