Approximation de Cornish-Fisher

On a :

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}Z}{{\rm {d}}z_{c}}}=1+2z_{c}{\frac {S}{6}}+(3z_{c}^{2}-3){\frac {K}{24}}-(6z_{c}^{2}-5){\frac {S^{2}}{36}}=1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}+{\frac {S}{3}}z_{c}+\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)z_{c}^{2}.}$

Afin de garantir la positivité de ce terme, il faut que le discriminant de cette équation du second degré soit négatif :

${\displaystyle \Delta (K)={\frac {S^{2}}{9}}-4\left(1-{\frac {K}{8}}+{\frac {5S^{2}}{36}}\right)\left({\frac {K}{8}}-{\frac {S^{2}}{6}}\right)={\frac {42S^{2}+5S^{4}}{54}}-{\frac {11S^{2}+36}{72}}K+{\frac {1}{16}}K^{2}\leqslant 0.}$

Pour que l'inégalité soit vérifiée, il faut que K soit entre les deux racines de cette deuxième équation du second degré, donc qu'elles existent, ce qui est vrai dans le cas :

${\displaystyle \Delta ={\frac {(11S^{2}+36)^{2}}{5184}}-{\frac {42S^{2}+5S^{4}}{216}}={\frac {1}{5184}}S^{4}-{\frac {1}{24}}S^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {S^{4}-216S^{2}+1296}{5184}}\geqslant 0.}$

On a donc ${\displaystyle S^{2}\leqslant 36(3-2{\sqrt {2}})}$ ou ${\displaystyle S^{2}\geqslant 36(3+2{\sqrt {2}})}$, soit ${\displaystyle |S|\leqslant 6{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}=6(-1+{\sqrt {2}})\approx 2,48}$ ou ${\displaystyle |S|\geqslant 6{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=6(1+{\sqrt {2}})\approx 14,48}$.

Le deuxième cas est impossible, donc on se restreint à l'intervalle ${\displaystyle |S|\leqslant 6(-1+{\sqrt {2}})}$. On a alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (K)\leqslant 0&\Longleftrightarrow &8(42S^{2}+5S^{4})-6(11S^{2}+36)K+27K^{2}\leqslant 0\\&\Longleftrightarrow &{\frac {(11S^{2}+36)-{\sqrt {S^{4}-1296S^{2}+7776}}}{9}}\leqslant K\leqslant {\frac {(11S^{2}+36)+{\sqrt {S^{4}-1296S^{2}+7776}}}{9}}.\end{aligned}}}$