BIO-LGCA

En biomathématique un BIO-LGCA (pour biological lattice-gas cellular automaton) est un modèle discret représentant des agents biologiques en mouvement et en interaction traité par la méthode gaz sur réseau.

Un modèle BIO-LGCA décrit les cellules et autres agents biologiques mobiles comme des particules ponctuelles se déplaçant sur un réseau discret, interagissant avec les particules situées à proximité. Contrairement aux modèles d'automates cellulaires classiques, les particules dans un BIO-LGCA sont définies par leur position et leur vitesse. Cela permet de modéliser et d'analyser des fluides actifs ainsi que la migration collective, phénomènes régis principalement par des variations de quantité de mouvement plutôt que par des variations de densité. Les applications de BIO-LGCA incluent l'invasion tumorale et la progression du cancer.

Définition du modèle

Comme tout modèle d'automate cellulaire, un modèle BIO-LGCA est défini par un réseau ${\mathcal {L}}$ , un espace d'états ${\mathcal {E}}$ , un voisinage ${\mathcal {N}}$ et une règle ${\mathcal {R}}$ .

Le réseau ${\mathcal {L}}$ définit l'ensemble de toutes les positions possibles des particules. Les particules sont contraintes d'occuper uniquement certaines positions, résultant généralement d'un pavage régulier et périodique de l'espace. Mathématiquement, ${\mathcal {L}}\subset \mathbb {R} ^{d}$ est un sous-ensemble discret d'un espace à $d$ dimensions.
L'espace d'états ${\mathcal {E}}$ décrit les états possibles des particules au sein de chaque nœud $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ du réseau. Dans un modèle BIO-LGCA, plusieurs particules dotées de vitesses différentes peuvent occuper un même nœud du réseau ; cela diffère des modèles d'automates cellulaires classiques, où, en règle générale, une seule entité peut occuper un nœud donné à un instant donné. Par conséquent, l'espace d'états est légèrement plus complexe que celui des modèles d'automates cellulaires classiques.
Le voisinage ${\mathcal {N}}$ désigne le sous-ensemble de nœuds du réseau qui détermine la dynamique d'un nœud donné. Les particules n'interagissent qu'avec d'autres particules situées dans leur voisinage. Des conditions aux limites doivent être définies pour les voisinages des nœuds situés à la périphérie des réseaux finis. Les voisinages et les conditions aux limites sont définis de manière identique à ceux des automates cellulaires classiques.
La règle ${\mathcal {R}}$ détermine la façon dont les particules se déplacent, prolifèrent ou meurent au cours du temps. Comme tout automate cellulaire, le modèle BIO-LGCA évolue par pas de temps discrets. Afin de simuler la dynamique du système, la règle est appliquée de manière synchrone à chaque site du réseau à chaque pas de temps. L'application de la règle transforme l'état initial d'un site du réseau en un nouvel état. Cette règle dépend des états des sites situés dans le voisinage d'interaction du site considéré. Dans le modèle BIO-LGCA, la règle se décompose en deux étapes : une étape d'interaction probabiliste, suivie d'une étape de transport déterministe. L'étape d'interaction simule les processus de réorientation, de naissance et de mort ; elle est définie spécifiquement en fonction du phénomène modélisé. L'étape de transport déplace les particules vers les nœuds voisins du réseau, suivant la direction de leurs vitesses.

Espace des états

Pour modéliser explicitement les vitesses des particules, on suppose que les nœuds du réseau possèdent une sous-structure spécifique. Chaque nœud $\mathbf {r} \in {\mathcal {L}}$ est relié à ses nœuds voisins par des vecteurs appelés « canaux de vitesse », notés $\mathbf {c} _{i}$ (avec $i\in \{1,2,\ldots ,b\}$ ). Le nombre de canaux de vitesse $b$ correspond au nombre de plus proches voisins et dépend donc de la géométrie du réseau ( $b=2$ pour un réseau unidimensionnel, $b=6$ pour un réseau hexagonal bidimensionnel, etc.). En deux dimensions, les canaux de vitesse sont définis par $\mathbf {c} _{i}=\left(\cos {\frac {2\pi i}{b}},\sin {\frac {2\pi i}{b}}\right)$ . Par ailleurs, il est possible de définir un nombre arbitraire $a$ de « canaux de repos », tels que $\mathbf {c} _{i}=(0,0)$ pour $i\in \{b+1,b+2,\ldots ,b+a\}$ . Un canal est dit occupé si une particule est présente sur le site du réseau avec une vitesse correspondant à celle de ce canal. L'occupation du canal $\mathbf {c} _{i}$ est représentée par le nombre d'occupation $s_{i}$ . En règle générale, on suppose que les particules obéissent à un principe d'exclusion de Pauli, de sorte qu'au plus une particule puisse occuper un canal de vitesse donné sur un site du réseau à un instant donné. Dans ce cas, les nombres d'occupation sont des variables booléennes, c'est-à-dire $s_{i}\in {\mathcal {S}}=\{0,1\}$ ; par conséquent, chaque site possède une [capacité d'accueil maximale $K=a+b$ . Comme l'ensemble des nombres d'occupation de tous les canaux définit le nombre de particules ainsi que leurs vitesses sur chaque site du réseau, le vecteur $\mathbf {s} =\left(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{K}\right)$ décrit l'état d'un site du réseau, et l'espace des états est donné par ${\mathcal {E}}={\mathcal {S}}^{K}$ .

Dynamique du modèle et règle

Les états de chaque site du réseau sont mis à jour de manière synchrone, par pas de temps discrets, afin de simuler la dynamique du modèle. La règle se décompose en deux étapes : l'étape d'interaction probabiliste, qui simule les interactions entre particules, et l'étape de transport déterministe, qui simule le déplacement des particules.

Étape d'interaction

Selon l'application spécifique, l'étape d'interaction peut être composée d'opérateurs de réaction ou de réorientation.

L'opérateur de réaction ${\mathcal {A}}$ remplace l'état d'un nœud $\mathbf {s}$ par un nouvel état $\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}$ selon une probabilité de transition $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ , qui dépend de l'état des sites voisins sur le réseau $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}$ afin de simuler l'influence des particules voisines sur le processus réactionnel. L'opérateur de réaction ne conserve pas le nombre de particules, permettant ainsi de simuler la naissance et la mort d'individus. La probabilité de transition de cet opérateur est généralement définie de manière ad hoc à partir d'observations phénoménologiques.

L'opérateur de réorientation ${\mathcal {O}}$ remplace également un état $\mathbf {s}$ par un nouvel état $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ avec une probabilité $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ . Cependant, cet opérateur conserve le nombre de particules et ne modélise donc que des changements dans la vitesse des particules, en redistribuant les particules entre différents canaux de vitesse. La probabilité de transition associée à cet opérateur peut être déterminée à partir d'observations statistiques (en utilisant le principe du calibre maximal) ou à partir de la dynamique connue d'une particule isolée (en utilisant la distribution de probabilité angulaire discrétisée en régime stationnaire, issue de l'équation de Fokker-Planck associée à une équation de Langevin décrivant la dynamique de réorientation)^,, et prend généralement la forme $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}e^{-\beta H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ où $Z$ est une constante de normalisation (également appelée fonction de partition), $H\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ est une fonction analogue à une énergie que les particules tendent à minimiser lorsqu'elles changent de direction de déplacement, $\beta$ est un paramètre libre inversement proportionnel au caractère aléatoire de la réorientation des particules (analogue à l'inverse de la température en thermodynamique), et $\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ est un symbole de Kronecker, ce qui garantit que le nombre de particules avant $n\left(\mathbf {s} \right)$ et après la réorientation $n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ demeure inchangé.

L'état résultant de l'application de l'opérateur de réaction et de réorientation $\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ est appelé « configuration post-interaction » et est noté $\mathbf {s} ^{\mathcal {I}}:=\mathbf {s} ^{{\mathcal {O}}\circ {\mathcal {A}}}$ .

Étape de transport

L'étape de transport déterministe est appliquée de manière synchrone à tous les sites du réseau. Cette étape simule le déplacement des agents en fonction de leur vitesse, résultant de la propulsion autonome des organismes vivants.

Au cours de cette étape, les nombres d'occupation des états post-interaction deviennent les nouveaux états d'occupation du canal correspondant sur le site voisin du réseau, dans la direction du vecteur vitesse ; soit : $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i})=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} )$ .

Un nouveau pas de temps débute une fois les étapes d'interaction et de transport effectuées. Ainsi, la dynamique du modèle BIO-LGCA peut être résumée par l'équation microdynamique stochastique aux différences finies suivante : $s_{i}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{i},k+1)=s_{i}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$

Exemples de dynamiques d'interaction

Modèle hexagonal de comportement collectif polarisé : les cellules modifient préférentiellement leur vitesse pour s'aligner sur la quantité de mouvement du voisinage. Les sites du réseau sont colorés en fonction de leur orientation, selon le cercle chromatique. Les sites vides sont représentés en blanc. Des conditions aux limites périodiques ont été appliquées.
Modèle hexagonal de milieu excitable. Dans ce modèle, l'opérateur de réaction favorise la reproduction rapide des particules au sein des canaux de vitesse et la disparition lente des particules au sein des canaux de repos. Les particules situées dans les canaux de repos inhibent la reproduction des particules présentes dans les canaux de vitesse. L'opérateur de réorientation correspond ici à l'opérateur de marche aléatoire. Les sites du réseau sont d'autant plus vivement colorés qu'ils contiennent un grand nombre de particules mobiles. Les particules au repos ne sont pas représentées. Des conditions aux limites périodiques ont été utilisées.
Modèle BIO-LGCA sur réseau carré représentant des cellules interagissant par adhésion. Les cellules se déplacent préférentiellement dans la direction du gradient de densité cellulaire. Les sites du réseau sont colorés en bleu, avec une intensité croissante en fonction de la densité cellulaire. Les sites vides sont représentés en blanc. Des conditions aux limites périodiques sont appliquées.

Modèle BIO-LGCA sur réseau carré représentant des cellules interagissant indirectement par chimiotactisme. Dans ce modèle, les cellules produisent un chimioattractant qui diffuse et possède une certaine demi-vie biologique. Les cellules se déplacent préférentiellement dans la direction du gradient de ce chimioattractant. Les sites du réseau sont colorés en bleu de plus en plus foncé à mesure que la densité cellulaire augmente, et en jaune de plus en plus foncé à mesure que la concentration en chimioattractant augmente. Les sites vides du réseau sont représentés en blanc.

La probabilité de transition associée à l'opérateur de réaction ou de réorientation doit être définie de manière à simuler correctement le système étudié. Quelques interactions élémentaires ainsi que les probabilités de transition correspondantes sont présentées ci-dessous.

Marche aléatoire

En l'absence de tout stimulus externe ou interne, les cellules peuvent se déplacer de manière aléatoire, sans préférence directionnelle. Dans ce cas, l'opérateur de réorientation peut être défini par une probabilité de transition : $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {\delta _{n(\mathbf {s} ),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}}{Z}}$ où $Z=\sum _{\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}}\delta _{n\left(\mathbf {s} \right),n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)}$ . Une telle probabilité de transition permet de choisir de manière uniforme toute configuration post-réorientation $\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}$ comportant le même nombre de particules que la configuration pré-réorientation $\mathbf {s}$ .

Processus simple de naissance et de mort

Si des organismes se reproduisent et meurent indépendamment des autres individus (à l'exception de la capacité limite du milieu), alors un processus simple de naissance et de mort peut être simulé avec une probabilité de transition donnée par

P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\left[r_{b}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)+1}+r_{d}\delta _{n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right),n\left(\mathbf {s} \right)-1}\right]\Theta \left[n\left(\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]\Theta \left[n\left(K-\mathbf {s} ^{\mathcal {A}}\right)\right]

où $r_{b},r_{d}\in [0,1]$ , avec $r_{b}+r_{d}\leq 1$ , représentent respectivement les probabilités constantes de naissance et de mort ; $\delta _{i,j}$ est le symbole de Kronecker, qui garantit qu'un seul événement (naissance ou mort) se produit à chaque pas de temps ; et $\Theta (x)$ est la fonction de Heaviside qui assure que le nombre d'individus reste positif et borné par la capacité limite du milieu $K$ .

Interactions adhésives

Les cellules peuvent adhérer les unes aux autres grâce à des molécules de cadhérine présentes à leur surface. Les interactions entre cadhérines permettent aux cellules de former des agrégats. La formation d'agrégats cellulaires par le biais de biomolécules adhésives peut être modélisée par un opérateur de réorientation dont les probabilités de transition sont définies comme suit : $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)={\frac {1}{Z}}\exp \left[\beta \mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)\cdot \mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)\right]$ où $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ est un vecteur pointant dans la direction de la densité cellulaire maximale, défini par $\mathbf {G} \left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)=\sum _{\mathbf {r} '\in {\mathcal {N}}}\left(\mathbf {r} '-\mathbf {r} \right)n\left(\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}\right)$ , où $\mathbf {s} _{\mathcal {N}}^{\mathbf {r} '}$ représente la configuration du site du réseau $\mathbf {r} '$ au sein du voisinage ${\mathcal {N}}$ , et $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)$ est l'impulsion de la configuration après réorientation, définie par $\mathbf {J} \left(\mathbf {s} ^{\mathcal {O}}\right)=\sum _{j=1}^{b}s_{j}^{\mathcal {O}}\mathbf {c} _{j}$ . Cette probabilité de transition favorise les configurations post-réorientation dans lesquelles les cellules se déplacent vers le gradient de densité cellulaire.

Analyse mathématique

Étant donné qu’un traitement exact d’un modèle stochastique fondé sur des agents (en) devient rapidement irréalisable en raison des corrélations d’ordre élevé entre tous les agents la méthode générale pour analyser un modèle BIO-LGCA consiste à le formuler sous la forme d’une équation aux différences finies déterministe et approximative, décrivant la dynamique moyenne de la population ; on procède ensuite à l’analyse mathématique de ce modèle approximatif, puis on compare les résultats obtenus avec ceux du modèle BIO-LGCA original. Tout d'abord, on obtient l'espérance mathématique de l'équation microdynamique $s_{m}(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1)=s_{m}^{\mathcal {I}}(\mathbf {r} ,k)$ : $f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ où $\langle \cdot \rangle$ désigne l'espérance mathématique, et $f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right):=\left\langle s_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ représente l'espérance du nombre d'occupations du $m$ -ième canal au nœud du réseau situé en $\mathbf {r}$ à l'instant $k$ . Cependant, le terme situé à droite, $\left\langle s_{m}^{\mathcal {I}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right\rangle$ , est fortement non linéaire par rapport aux nombres d'occupations, tant au nœud $\mathbf {r}$ qu'aux nœuds situés dans le voisinage d'interaction ${\mathcal {N}}$ . Cela découle de la forme de la probabilité de transition $P\left(\left.\mathbf {s} \rightarrow \mathbf {s} ^{\mathcal {I}}\right|\mathbf {s} _{\mathcal {N}}\right)$ ainsi que des statistiques régissant la répartition des particules dans les canaux de vitesse (par exemple, en raison d'un principe d'exclusion imposé aux occupations des canaux). Cette non-linéarité entraînerait l'apparition de corrélations et de moments d'ordre élevé entre toutes les occupations des canaux considérés. On a donc généralement recours à une approximation de champ moyen dans laquelle toutes les corrélations et tous les moments d'ordre élevé sont négligés ; les interactions directes entre particules sont alors remplacées par des interactions avec leurs espérances mathématiques respectives. En d'autres termes, si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sont des variables aléatoires et que $F:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ est une fonction, alors, dans le cadre de cette approximation, on a $\left\langle F\left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)\right\rangle \approx F\left(\left\langle X_{1}\right\rangle ,\left\langle X_{2}\right\rangle ,\ldots ,\left\langle X_{n}\right\rangle \right)$ . Ainsi, l'équation peut être simplifiée comme suit

f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)={\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)

où ${\mathcal {C}}\left(\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right),\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)\right)$ est une fonction non linéaire de la configuration espérée au niveau d'un site du réseau, $\mathbf {f} \left(\mathbf {r} ,k\right)$ , et de la configuration espérée du voisinage, $\mathbf {f} _{\mathcal {N}}\left(\mathbf {r} ,k\right)$ ; cette fonction dépend des probabilités de transition et des statistiques des particules présentes sur le site.

À partir de cette équation aux différences finies non linéaire, on peut identifier plusieurs états stationnaires homogènes, des constantes ${\bar {f}}_{m}$ indépendantes de $\mathbf {r}$ et de $k$ qui constituent des solutions de cette équation. Pour étudier les conditions de stabilité de ces états stationnaires ainsi que le potentiel du modèle en matière de formation de motifs, une analyse de stabilité linéaire peut être effectuée. Pour ce faire, l'équation aux différences finies non linéaire est linéarisée comme suit :

f_{m}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{m},k+1\right)=\sum _{j=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)+\sum _{j=1}^{K}\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)

où

\mathrm {ss}

désigne l'état stationnaire homogène

f_{m}\left(\mathbf {r} ,k\right)={\bar {f}}_{m},m\in \{1,\ldots ,K\}

, et où l'on a supposé un voisinage de von Neumann. Afin de ramener cette expression à une équation aux différences finies plus classique, ne faisant intervenir que des incréments temporels, on peut appliquer une transformée de Fourier discrète aux deux membres de l'équation. En utilisant le théorème de décalage pour cette transformée et en isolant le terme comportant un incrément temporel dans le membre de gauche, on obtient l'équation de Boltzmann sur réseau

{\hat {f}}_{m}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left\{\sum _{j=1}^{K}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]{\hat {f}}_{j}\left(\mathbf {q} ,k\right)\right\}

où

i={\sqrt {-1}}

est l'unité imaginaire,

L

est la taille du réseau selon une dimension,

\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}

est le nombre d'onde de Fourier, et

{\hat {\cdot }}={\mathcal {F}}\{\cdot \}

désigne la transformée de Fourier discrète. En notation matricielle, cette équation se simplifie en

{\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k+1\right)=\Gamma {\hat {\mathbf {f} }}\left(\mathbf {q} ,k\right)

, où la matrice

\Gamma

est appelée propagateur de Boltzmann et est définie par

\Gamma _{m,j}=e^{-{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{m}}\left[\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} ,k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }+\sum _{p=1}^{K}\left.{\frac {\partial {\mathcal {C}}}{\partial f_{j}\left(\mathbf {r} +\mathbf {c} _{p},k\right)}}\right|_{\mathrm {ss} }e^{{\frac {2\pi i}{L}}\mathbf {q} \cdot \mathbf {c} _{p}}\right]

Les valeurs propres $\lambda \left(\mathbf {q} \right)$ du propagateur de Boltzmann déterminent les propriétés de stabilité de l'état stationnaire :

Si $\left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|>1$ , où $|\cdot |$ désigne le module, alors les perturbations de vecteur d'onde $\mathbf {q}$ croissent au cours du temps. Si $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|>1$ et que $\left|\lambda \left(\mathbf {q} _{\mathrm {max} }\right)\right|\geq \left|\lambda \left(\mathbf {q} \right)\right|$ pour tout $\mathbf {q} \in \{1,2,\ldots ,L\}^{d}$ , alors les perturbations associées au vecteur d'onde $\mathbf {q} _{\mathrm {max} }$ deviennent prédominantes, et l'on observe des motifs dotés d'une longueur d'onde bien définie. Dans le cas contraire, l'état stationnaire est stable et toute perturbation finit par s'atténuer.
Si $\mathrm {arg} \left[\lambda \left(q\right)\right]\neq 0$ — où $\mathrm {arg} (\cdot )$ désigne l'argument d'un nombre complexe — alors les perturbations sont transportées, ce qui donne lieu à des comportements non stationnaires de la population. Sinon, la population apparaît stationnaire à l'échelle macroscopique.

Applications

La construction d’un modèle BIO-LGCA pour l’étude de phénomènes biologiques repose principalement sur la définition de probabilités de transition appropriées pour l’opérateur d’interaction ; toutefois, une définition précise de l’espace des états (pour prendre en compte, par exemple, plusieurs phénotypes cellulaires), des conditions aux limites (pour modéliser des phénomènes en milieu confiné), du voisinage (afin de faire correspondre quantitativement les portées d’interaction aux données expérimentales) et de la capacité d’accueil (pour simuler les effets d’encombrement liés à des tailles cellulaires données) peut s’avérer importante pour certaines applications spécifiques. Alors que la distribution de l'opérateur de réorientation peut être obtenue par les méthodes statistiques et biophysiques mentionnées précédemment, la distribution des opérateurs de réaction peut, par exemple, être estimée à partir des statistiques issues d'expériences « in vitro ».

Les modèles BIO-LGCA ont été utilisés pour étudier divers phénomènes cellulaires, biophysiques et médicaux. Voici quelques exemples :

Angiogenèse : une expérience in vitro utilisant des cellules endothéliales a été comparée à des observables issues de simulations BIO-LGCA afin de déterminer les processus en jeu lors de l'angiogenèse ainsi que leur importance relative. Les auteurs ont mis en évidence que l'adhésion, l'alignement, le guidage par contact et le remodelage de la matrice extracellulaire participent tous à l'angiogenèse, tandis que les interactions à longue distance ne sont pas essentielles à ce processus.

Fluides actifs : les propriétés physiques macroscopiques d'une population de particules interagissant par le biais d'interactions d'alignement polaire ont été étudiées à l'aide d'un modèle BIO-LGCA. Il a été constaté qu'une augmentation de la densité initiale des particules et de l'intensité des interactions entraîne une transition de phase du second ordre : le système passe d'un état homogène et désordonné à un état ordonné, structuré et en mouvement.

Épidémiologie : un modèle spatial de type SIR a été utilisé pour étudier l'effet de différentes stratégies de vaccination, ainsi que les conséquences de l'approximation d'une épidémie spatiale par un modèle non spatial. Les auteurs ont constaté que les stratégies de vaccination consistant à créer des « barrières » sont nettement plus efficaces que des stratégies de vaccination spatialement uniformes. Par ailleurs, ils ont observé que les modèles non spatiaux surestiment considérablement le taux d'infection.

Le phénomène de « blocage » cellulaire (cell jamming) a été utilisé pour analyser le comportement métastatique dans le cancer du sein. Le modèle BIO-LGCA a révélé que les métastases peuvent présenter des comportements variés — tels que des états de type gazeux (aléatoires), de type solide (bloqués) ou de type fluide (corrélés) — en fonction du degré d’adhésivité entre les cellules, de la densité de la matrice extracellulaire (MEC) et des interactions entre les cellules et la MEC.

Voir aussi

Particules autopropulsées

Liens externes

Bio-LGCA Simulator - Simulateur en ligne comportant des interactions élémentaires.
BIO-LGCA Python Package - Package Python open source pour l'écriture de modèles.

Références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « BIO-LGCA » (voir la liste des auteurs).

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[1] (en) Andreas Deutsch, Josué Manik Nava-Sedeño, Simon Syga et Haralampos Hatzikirou, « BIO-LGCA: A cellular automaton modelling class for analysing collective cell migration », PLOS Computational Biology, vol. 17, n^o 6,‎ 15 juin 2021 (DOI 10.1371/journal.pcbi.1009066)

[2] (en) David Reher, Barbara Klink, Andreas Deutsch et Anja Voss-Böhme, « Cell adhesion heterogeneity reinforces tumour cell dissemination: novel insights from a mathematical model », Biology Direct, vol. 12, n^o 1,‎ 11 août 2017, p. 18 (DOI 10.1186/s13062-017-0188-z)

[:0-3] 1 2 (en) Katrin Böttger, Haralambos Hatzikirou, Anja Voss-Böhme, Elisabetta Ada Cavalcanti-Adam, Miguel A. Herrero et Andreas Deutsch, « An Emerging Allee Effect Is Critical for Tumor Initiation and Persistence », PLOS Computational Biology, vol. 11, n^o 9,‎ 3 septembre 2015 (DOI 10.1371/journal.pcbi.1004366)

[:1-4] 1 2 3 Andreas Deutsch et Sabine Dormann, « Mathematical Modeling of Biological Pattern Formation », dans Cellular Automaton Modeling of Biological Pattern Formation, Birkhäuser, coll. « Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology », 2005, 45–56 p. (ISBN 978-0-8176-4281-5, DOI 10.1007/0-8176-4415-6_3)

[5] (en) J. M. Nava-Sedeño, H. Hatzikirou, F. Peruani et A. Deutsch, « Extracting cellular automaton rules from physical Langevin equation models for single and collective cell migration », Journal of Mathematical Biology, vol. 75, n^o 5,‎ 27 février 2017, p. 1075–1100 (DOI 10.1007/s00285-017-1106-9)

[6] (en) J. M. Nava-Sedeño, H. Hatzikirou, R. Klages et A. Deutsch, « Cellular automaton models for time-correlated random walks: derivation and analysis », Scientific Reports, vol. 7, n^o 1,‎ 5 décembre 2017, p. 16952 (DOI 10.1038/s41598-017-17317-x, arXiv 1802.04201)

[7] (en) Harmen J. Bussemaker, « Analysis of a pattern-forming lattice-gas automaton: Mean-field theory and beyond », Physical Review E, vol. 53, n^o 2,‎ 1^er février 1996, p. 1644–1661 (DOI 10.1103/physreve.53.1644)

[8] (en) Otso Ovaskainen, Panu Somervuou et Dmitri Finkelshtein, « A general mathematical method for predicting spatio-temporal correlations emerging from agent-based models », Journal of the Royal Society Interface, vol. 17, n^o 171,‎ 28 octobre 2020 (DOI 10.1098/rsif.2020.0655)

[9] (en) Anne Dirkse, Anna Golebiewska, Thomas Buder, Petr Nazarov, Arnaud Muller, Suresh Poovathingal, Nicolaas H. Brons, So,ia Leite, Nicolas Sauvageot, Dzjemma Sarkisjan et Mathieu Seyfrid, « Stem cell-associated heterogeneity in Glioblastoma results from intrinsic tumor plasticity shaped by the microenvironment », Nature Communications, vol. 10, n^o 1,‎ 16 avril 2019, p. 1787 (DOI 10.1038/s41467-019-09853-z)

[10] (en) Carsten Mente, Ina Prade, Lutz Brusch, Georg Breier et Andreas Deutsch, « Parameter estimation with a novel gradient-based optimization method for biological lattice-gas cellular automaton models », Journal of Mathematical Biology, vol. 63, n^o 1,‎ 1^er octobre 2010, p. 173–200 (DOI 10.1007/s00285-010-0366-4, lire en ligne)

[11] (en) Harmen J. Bussemaker, Andreas Deutsch et Edith Geigant, « Mean-Field Analysis of a Dynamical Phase Transition in a Cellular Automaton Model for Collective Motion », Physical Review Letters, vol. 78,‎ 30 juin 1997, p. 5018–5021 (DOI 10.1103/PhysRevLett.78.5018, arXiv physics/9706008, lire en ligne)

[:2-12] (en) Henryk Fuks et Anna T. Lawniczak, « Individual-based lattice model for spatial spread of epidemics », Discrete Dynamics in Nature and Society, vol. 6, n^o 3,‎ 2001, p. 191–200 (DOI 10.1155/s1026022601000206)

[13] (en) Olga Ilina, Pavlo G. Gritsenko, Smon Syga, Jürgen Lippoldt, Caterina A. M. La Porta, Oleksandr Chepizhko, Steffen Grosser, Manon Vullings, Gert-Jan Bakker, Jörn Starruß et Peter Bult, « Cell–cell adhesion and 3D matrix confinement determine jamming transitions in breast cancer invasion », Nature Cell Biology, vol. 22, n^o 9,‎ 24 août 2020, p. 1103–1115 (DOI 10.1038/s41556-020-0552-6)