Commutant

En algèbre, le commutant d'un sous-ensemble ${\displaystyle X}$ d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble ${\displaystyle X'}$ des éléments de A qui commutent avec tout élément de ${\displaystyle X}$. Autrement dit,

${\displaystyle X'=\{a\in A~|~\forall x\in X,xa=ax\}.}$

En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.

Propriétés

Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(A),X\mapsto X'}$ permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième en est une conséquence.

• ${\displaystyle X\subset Y'\Leftrightarrow Y\subset X'}$
• ${\displaystyle (X\subset Y\Rightarrow Y'\subset X')}$ et ${\displaystyle X\subset X''}$
• ${\displaystyle X'''=X'~}$
• Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.

Notes et références

Articles connexes

• Bicommutant
• Théorème du bicommutant de von Neumann
• Paire de matrices commutantes

• Portail de l’algèbre