Bicommutant

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En algèbre, le bicommutant d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée ${\displaystyle X'}$, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : ${\displaystyle X''}$.

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

• le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
  • ${\displaystyle X\subset X''}$
  • ${\displaystyle X\subset Y\Rightarrow X''\subset Y''}$
  • ${\displaystyle (X'')''=X''~}$
• ${\displaystyle X'''=X'~}$, cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de

${\displaystyle X\subset X''\Rightarrow (X'')'\subset X'}$ et de ${\displaystyle X'\subset (X')''}$.

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

${\displaystyle X\subset X''=X''''=X''''''=\ldots =X^{2n}=\ldots }$

${\displaystyle X'=X'''=X'''''=\ldots =X^{2n-1}=\ldots }$

pour tout entier n ≥ 1.

Note et référence

Voir aussi

• Théorème du bicommutant de von Neumann
• Centralisateur

• Portail de l’algèbre