Convergence normale

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En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

pour tout n, $| f_{n} |$ est majorée par u_n sur X ;
la série de terme général u_n converge.

Implications

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue.
La convergence uniforme comme la convergence absolue impliquent la convergence simple. Alors la convergence normale implique la convergence de la série.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire.

Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général $f_{n}$ converge normalement sur X si

\sum_{n} {‖ f_{n} ‖}_{\infty} < \infty

.

Exemples

La série de terme général $f_{n} (x) = \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

π \cot (π x) = \frac{1}{x} + \sum_{n \in ℕ^{*}} \frac{2 x}{x^{2} - n^{2}}

.

Soit $g_{n}$ le produit de $1 / n$ par la fonction indicatrice de l'intervalle $[n, n + 1 [$ . La série $\sum_{n \in ℕ^{*}} g_{n}$ n'est pas normalement convergente ( ${‖ g_{n} ‖}_{\infty} = 1 / n$ ) mais elle est uniformément convergente ( $‖ \sum_{n \geq N} g_{n} ‖_{\infty} = 1 / N$ ).
Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Propriétés

Toute combinaison linéaire de séries normalement convergentes est normalement convergente.
Tout produit de séries normalement convergentes est normalement convergent.

Notes et références

↑ Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, 164 p. (ISBN 2-13-036647-3, OCLC 417477300), p. 81, théorème 6.1.10.
↑ René Baire, Leçons sur les théories générales de l'analyse, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1908 (lire en ligne), p. vii.
↑ (en) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, 1991, 453 p. (ISBN 978-0-387-97195-7, lire en ligne), p. 327.

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[1] Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, 164 p. (ISBN 2-13-036647-3, OCLC 417477300), p. 81, théorème 6.1.10.

[2] René Baire, Leçons sur les théories générales de l'analyse, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1908 (lire en ligne), p. vii.

[3] (en) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, 1991, 453 p. (ISBN 978-0-387-97195-7, lire en ligne), p. 327.