Cotangente

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$.

Primitive

Les primitives de la cotangente sont définies par :

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$.

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où ${\displaystyle B_{k}}$ désigne le ${\displaystyle k}$^e nombre de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$,

mais aussi :

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$,

dont on déduit :

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$.

Fonction réciproque

La fonction réciproque est l'arccotangente ${\displaystyle \operatorname {arccot} }$.

Ses propriétés sont :

• ${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot}(x)}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccot}({1 \over x})={\begin{cases}{\pi \over 2}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x),&x>0\\{3\pi \over 2}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x),&x<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} '(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \end{aligned}}}$
• ${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arccot}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\end{aligned}}}$