Cube parfait

En mathématiques, un cube parfait (un cube s'il n'y a pas ambiguïté) est le cube d'un entier naturel.

Le cube de l'entier $n$ , généralement noté $n^{3}$ , est obtenu en multipliant $n$ deux fois par lui même :

n^{3} = n \times n \times n

Les cubes parfaits constituent la suite A000578 de l'OEIS, dont les premiers éléments sont :

Puissance	0³	1³	2³	3³	4³	5³	6³	7³	8³	9³	10³	11³	12³	13³	14³	15³	16³
Résultat	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096

Un nombre cubique, défini comme un cube parfait non nul, peut être associé à l'objet géométrique cube et à son volume.

Propriétés

Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés aux propriétés relatives aux nombres cubiques. Certaines de ces propriétés sont mentionnées dans la suite de ce chapitre :

1. Le produit de deux nombres cubiques est un nombre cubique.

Démonstration

Si $a$ et $b$ sont des nombres cubiques, c'est qu'il existe $n$ tel que $a = n^{3}$ et $p$ tel que $b = p^{3}$ . Donc $a b = n^{3} p^{3} = (n p)^{3}$ . Donc $a b$ est un nombre cubique, car il est le cube de $n p$ .

2. $a \neq 0$ ; $a$ est un nombre cubique si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont multiples de $3$ .

Démonstration

Si $a \neq 0$ est un nombre cubique, alors il existe un entier $m > 0$ tel que $a = m 3 .$ En notant $m = {p_{1}}^{k_{1}} \dots {p_{r}}^{k_{r}}$ la décomposition de $m$ en produit de facteurs premiers, on déduit : $a = {p_{1}}^{3 k_{1}} \dots {p_{r}}^{3 k_{r}},$ donc tous les exposants dans la décomposition de $a$ sont multiples de $3$ .

Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de

a

sont multiples de

3

, alors

a

est de la forme

{p_{1}}^{3 k_{1}} \dots {p_{r}}^{3 k_{r}} = {({p_{1}}^{k_{1}} \dots {p_{r}}^{k_{r}})}^{3} .

3. $ab \neq 0;$ si $ab$ est un cube parfait et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ et $b$ sont aussi des cubes parfaits. Attention, ne pas oublier la seconde condition : par exemple $9\times3 = 3 3,$ mais $9$ et $3$ ne sont pas premiers entre eux et ne sont pas des cubes parfaits.

Démonstration

Si $ab \neq 0$ est un nombre cubique, alors sa décomposition en facteurs premiers est de la forme : $a b = {p_{1}}^{3 k_{1}} \dots {p_{r}}^{3 k_{r}}$ . Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux , aucun $p_{i}$ ne peut diviser à la fois $a$ et $b$ . On peut donc répartir les ${p_{i}}^{3 k_{i}}$ en deux groupes distincts qui n'ont aucun élément commun : ceux qui divisent $a$ et ceux qui divisent $b$ . Et, par construction, le produit des éléments du premier (resp. second) groupe est égal à $a$ (resp. $b$ ), ce qui prouve la propriété.

4.
Pour tout $a$ entier naturel non nul, $a^{3}$ est la somme des $a$ entiers impairs les plus proches de $a^{2}$ . La découverte de cette propriété, illustrée ci-contre par une figure pyramidale extraite des travaux du mathématicien Charles Wheatstone, remonterait à d'Adhémar et Cauchy.

Démonstration

On part de la suite des entiers naturels impairs : $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...$

On crée ensuite des "paquets" de longueur 1, puis 2, puis 3, etc., ce qui donne : $(1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), ...$

On somme les éléments de chaque paquet, ce qui donne : $1, 8, 27, 64, ...$ et on remarque que cette suite de nombres est la suite $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ .

On constate la propriété annoncée : ainsi, par exemple, pour $a = 4$ , $a^{3}$ est la somme de $a = 4$ nombres impairs ( $64 = 13 + 15 + 17 + 19)$ , qui sont les quatre entiers impairs les plus proches de $a^{2} = 16$ .

Démontrons que cette propriété est vraie pour tout entier $a$ supérieur ou égal à $2$ .

Si $a$ est impair, les $a$ entiers impairs les plus proches de $a^{2}$ sont $a^{2} \pm 2 i$ avec $i = 0$ à $(a - 1) / 2$ . Si $a$ est pair, ces entiers sont $a^{2} \pm (2 i + 1)$ avec $i = 0$ à $a / 2$ . Dans les deux cas, par construction, la moyenne de ces $a$ nombres est $a^{2}$ , et leur somme est donc égale à $a \times a^{2} = a^{3}$ . La propriété est donc démontrée.

Plus généralement, on peut démontrer de la même manière que pour tous entiers $a$ et $n > 1$ , $a^{n}$ est la somme des $a$ entiers impairs les plus proches de $a^{n - 1}$ .

5. La somme des $n$ premiers nombres cubiques est égale au carré du $n$ -ième nombre triangulaire, et donc également au carré de la somme des $n$ premiers entiers :

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} = {(\sum_{i = 1}^{n} i)}^{2}$

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour $n = 1$ ; définissons $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i^{3}$ et supposons que $S_{n} = {(\sum_{i = 1}^{n} i)}^{2}$ . On sait que $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ . Donc : $S_{n} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$ . Alors : $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)^{3} = \frac{(n + 1)^{2}}{4} (n^{2} + 4 n + 4) = {(\frac{(n + 1) (n + 2)}{2})}^{2}$ . La propriété est donc démontrée.

6. D'après le petit théorème de Fermat, $a^{3} \equiv a (\mod 3)$ .En base 3, $a^{3}$ a donc même chiffre des unités que $a$ .

7. Il n'existe pas pour les nombres cubiques d'identité similaire à celle des triplets pythagoriciens pour les nombres carrés. En effet, une preuve élémentaire, amorcée par Euler, montre qu'il n'y a aucune solution non triviale à $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ avec $a$ , $b$ et $c$ entiers naturels (c'est un cas particulier du théorème de Fermat-Wiles).
8. Il n'y a également aucune solution non triviale à $a^{3} + b^{3} = 2 c^{3}$ avec $a$ , $b$ et $c$ entiers naturels. Mise sous la forme $c^{3} - a^{3} = b^{3} - c^{3}$ cette impossibilité montre qu'il n'existe pas de triplet de cubes en progression arithmétique non triviale.

9. Il existe une infinité de nombres cubiques qui sont égaux à la somme de trois autres nombres cubiques. L'exemple le plus célèbre est $33 + 4 3 + 5 3 = 6 3$ (nombre de Platon) . La formule due à Srinivasa Ramanujan prouve cette affirmation et permet de construire des nombres cubiques possédant cette propriété à partir de couples d'entiers naturels $a$ , $b$ :

$(3 a^{2} + 5 a b - 5 b^{2})^{3} + (4 a^{2} - 4 a b + 6 b^{2})^{3} + (5 a^{2} - 5 a b - 3 b^{2})^{3} = (6 a^{2} - 4 a b + 4 b^{2})^{3}$

10. Tout entier $⩾ 1$ est somme d'au plus 9 nombres cubiques, le plus petit requérant 9 nombres cubiques est $23 = 2 \times 8 + 7 \times 1$ (problème de Waring). La liste des plus petits nombres de nombres cubiques requis dans la décomposition des entiers, tous inférieurs ou égaux à 9, est donnée par la suite A002376 de l'OEIS. Depuis 2015, on sait qu'à partir de 455, tout entier est somme d'au plus 7 nombres cubiques.

Nombre cubique et géométrie

Article détaillé : Nombre polyédrique.

Un nombre cubique est un nombre figuré polyédrique (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un cube. Par exemple, 8 est un nombre cubique puisqu'il peut être représenté par un cube de 2 × 2 × 2 points. Les nombres cubiques sont donc exactement les cubes parfaits strictement positifs, le n-ième étant $n$ ³.

On obtient $C_{n}$ à partir de la relation : $C_{n} - C_{n - 1} = (S - 1) + (A - d) (n - 2) + (F - d) (P_{k, n} - k (n - 1))$

où $S = 8, A = 12, F = 6$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces du dodécaèdre, ${k, d} = {4, 3}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et $P_{k, n}$ le nombre k-gonal d'ordre $n$ .

On obtient donc $C_{n} - C_{n - 1} = (8 - 1) + (12 - 3) (n - 2) + (6 - 3) (n^{2} - 4 (n - 1)) = 3 n^{2} - 3 n + 1 = n^{3} - (n - 1)^{3}$ .

D'où $C_{n} = n^{3}$ .

En analyse

La somme des inverses des cubes parfaits non nuls est la constante d'Apéry : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} = ζ (3)$ ; la somme alternée lui est reliée : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n^{3}} = \frac{3}{4} ζ (3)$ .

On a aussi le produit infini : $\prod_{n = 1}^{\infty} (1 + \frac{1}{n^{3}}) = \frac{\cosh \frac{π \sqrt{3}}{2}}{π}$ .

Cubes parfaits dans le monde réel

Cristallographie

Les cubes parfaits sont présents dans la nature, notamment dans la structure cristalline de certains éléments. La maille constitutive de ces éléments est un cube, qui peut être centré ou même à faces centrées, et la structure de l'élément est constituée par l'association de ces mailles élémentaires, pouvant former des cristaux cubiques contenant un très grand nombre d'atomes. Parmi les éléments ainsi constitués, on peut citer:

structure cubique simple : polonium ;
structure cubique centrée : fer, chrome, tungstène, etc ;
structure cubique à faces centrées : aluminium, cuivre, or, argent, etc.

Objets manufacturés

Les cubes parfaits pouvant être représentés par des objets physiques, ils sont présents dans une grande variété de réalisations humaines. En particulier, de très nombreux jeux utilisent des dés cubiques, dont les six faces sont généralement numérotées de 1 à 6. Nombreux également sont les jeux destinés à la première enfance utilisant des cubes pouvant s'empiler, s'emboîter ou être accolés pour créer diverses configurations, y compris pour créer des cubes de plus en plus grands : 2x2x2 avec 8 cubes unitaires, 3x3x3 avec 27 cubes unitaires, etc. Et le célèbre Rubik's Cube, décliné en de multiples variantes depuis sa création en 1974, se présente, dans sa forme originelle, comme un cube parfait de 3x3x3.

Notes et références

↑ "cube" employé seul fait en général référence au cube d'un entier pouvant être négatif (par exemple dans l'article somme de trois cubes) ; il faut donc manier l'expression avec précaution.
↑ « CUBE : Définition de CUBE », sur www.cnrtl.fr (consulté le 15 février 2025)
↑ (en) Charles Wheatstone, « On the formation of powers from arithmetical progressions », Proceedings of the Royal Society of London, vol. 7,‎ 1854, p. 145-151 (DOI 10.1098/rspl.1854.0036).
↑ Midy, « Sur une propriété des nombres », Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, vol. 5,‎ 1846, p. 640–646 (ISSN 2400-4782, lire en ligne, consulté le 11 février 2025)
↑ (en) W. Sierpinski, Elementary Theory of Numbers, Elsevier Science, 1988 (lire en ligne), p. 79
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Diophantine Equation--3rd Powers », sur MathWorld
↑ Voir la suite A018888 de l'OEIS.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Cubic Number », sur MathWorld.
↑ (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 114
↑ Pour permettre l'emboitement, une des faces de ces cubes est ôtée.
↑ LesMinis, « Le cube : solide de stabilité », sur LesMinis Le Blog - Matériels éducatifs - Figurines pédagogiques, 29 décembre 2024 (consulté le 15 février 2025)
↑ Un Rubik's Cube de 3x3x3 est en fait constitué de 26 et non de 27 petits cubes. L'emplacement du cube central est occupé par le mécanisme permettant au joueur de manipuler les 26 cubes visibles.

Voir aussi

Articles connexes

Concernant les cubes

Concernant d'autres puissances

Autres

Liens externes

A000578, donnant de nombreuses propriétés des cubes.

Arithmétique et théorie des nombres

[1] "cube" employé seul fait en général référence au cube d'un entier pouvant être négatif (par exemple dans l'article somme de trois cubes) ; il faut donc manier l'expression avec précaution.

[2] « CUBE : Définition de CUBE », sur www.cnrtl.fr (consulté le 15 février 2025)

[3] (en) Charles Wheatstone, « On the formation of powers from arithmetical progressions », Proceedings of the Royal Society of London, vol. 7,‎ 1854, p. 145-151 (DOI 10.1098/rspl.1854.0036).

[4] Midy, « Sur une propriété des nombres », Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, vol. 5,‎ 1846, p. 640–646 (ISSN 2400-4782, lire en ligne, consulté le 11 février 2025)

[5] (en) W. Sierpinski, Elementary Theory of Numbers, Elsevier Science, 1988 (lire en ligne), p. 79

[Weisstein-6] (en) Eric W. Weisstein, « Diophantine Equation--3rd Powers », sur MathWorld

[7] Voir la suite A018888 de l'OEIS.

[8] (en) Eric W. Weisstein, « Cubic Number », sur MathWorld.

[:1-9] (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 114

[10] Pour permettre l'emboitement, une des faces de ces cubes est ôtée.

[11] LesMinis, « Le cube : solide de stabilité », sur LesMinis Le Blog - Matériels éducatifs - Figurines pédagogiques, 29 décembre 2024 (consulté le 15 février 2025)

[12] Un Rubik's Cube de 3x3x3 est en fait constitué de 26 et non de 27 petits cubes. L'emplacement du cube central est occupé par le mécanisme permettant au joueur de manipuler les 26 cubes visibles.