Ensemble Fσ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble F_σ (lire « F sigma ») est une union dénombrable d'ensembles fermés.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le σ désignant une somme ou une union. La notation F_σ est équivalente à celle de ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

• L'union dénombrable d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ et l'intersection finie d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ.

• Le complémentaire d'un ensemble F_σ est un ensemble G_δ.

Exemples

• Chaque ensemble fermé est un ensemble F_σ.

• L'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des rationnels est un ensemble F_σ dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ des irrationnels n'est pas un ensemble F_σ dans l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des réels muni de sa topologie usuelle.

• Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble F_σ.

• Dans un espace T₁, chaque ensemble dénombrable est un F_σ car un point ${\displaystyle {x}}$ constitue un ensemble fermé.

• L'ensemble ${\displaystyle A}$ de tous les points ${\displaystyle (x,y)}$ du plan cartésien tels que ${\displaystyle x/y}$ est rationnel est un ensemble F_σ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :

${\displaystyle A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \},}$ où ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.

Voir aussi

• Ensemble G_δ — la notion duale d'un ensemble F_σ
• Hiérarchie de Borel
• P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble F_σ est fermé

Références

• Portail des mathématiques