Fonction d'appui

En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie $P$ d'un espace normé réel $E$ est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue $s$ sur $E$ associe la borne supérieure de $s (P)$ dans ℝ.

Définition

La fonction d'appui d'une partie $P$ d'un espace normé $E$ est la fonction notée $σ P$ et définie par

$\sigma _{P}:E'\to {\overline {\mathbb {R} }}:s\mapsto \sigma _{P}(s)=\sup _{x\in P}\,\langle s,x\rangle ,$

où $E'$ est le dual topologique de $E$ et $\langle s,x\rangle$ est la valeur de la forme linéaire continue $s$ en $x$ .

En particulier, $\sigma _{\varnothing }(s)=-\infty$ ( $sup(\emptyset) = -\infty$ ).

La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.

La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie $P$ de $E$ est la fonction d'appui de $P$ .
La fonction d'appui de la boule unité de $E$ est la norme canonique du dual $E'$ .
Si $E$ est un espace euclidien et si $f$ est une fonction convexe propre définie sur $E$ à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ , sa dérivée directionnelle $f'(x;\cdot )$ en un point $x$ dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de $f$ en $x$ (voir « Formule du max »).

La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
Toute partie $P$ a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée $co (P)$ . Plus précisément : $\sigma _{P}\leqslant \sigma _{Q}\Leftrightarrow {\overline {\operatorname {co} }}(P)\subset {\overline {\operatorname {co} }}(Q)$ .
A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe : $\sigma _{P}=\sigma _{\overline {P}}=\sigma _{\operatorname {co} (P)}$ .

Somme pondérée d'ensembles: Pour toutes parties $P, Q$ de $E$ et tous réels positifs $α, β$ ,

\sigma _{\alpha P+\beta Q}=\alpha \sigma _{P}+\beta \sigma _{Q}

.

Transformation par une application linéaire: Soient $F$ un autre espace normé, $A:E\to F$ une fonction linéaire continue, $A^{*}:F'\to E'$ son adjointe et $P$ une partie de $E$ .; Alors $\sigma _{A(P)}:F'\to {\overline {\mathbb {R} }}$ s'écrit $\sigma _{A(P)}=\sigma _{P}\circ A^{*}$ .

(en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, 2007, 3^e éd. (1^re éd. 1999) (lire en ligne)
(en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, New York, Springer, 2006, 2^e éd. (1^re éd. 2000) (lire en ligne)
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1^re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
(en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (n^o 28), 1970 (lire en ligne)