Formules de physique

La physique est une science dont une des expressions les plus précises et utiles pour faire des prévisions est le langage mathématique. Des lois physiques traduisent les phénomènes et observation, et souvent leur expression mathématique est courte et explicite ... pour ceux qui maîtrisent cet outil que sont les mathématiques.

Les formules de physique sont des expressions qui montrent les relations entre la matière, l'énergie, le mouvement, et les forces dans ce langage mathématique. La vision des formules multiples sur une page peut permettre de comprendre les relations entre les variables, après un cours de physique de base de niveau secondaire (typiquement proposé aux 16-18 ans).

L'objectif de cette page est de présenter les relations (formules) principales sous forme mathématique autant que verbale, pour que les élèves en aient une meilleure compréhension. La formulation verbale de nombreuses relations doit encore être ajoutée ou précisée.

Signification des symboles

${\displaystyle a\,}$ : accélération

${\displaystyle a_{t}\,}$ : accélération tangentielle

${\displaystyle a_{c}\,}$ : accélération centripète

${\displaystyle A\,}$ : surface ou amplitude

${\displaystyle c\,}$ : vitesse de la lumière

${\displaystyle {\displaystyle c}}$ : une constante, vitesse de propagation de ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm {\vec {E}} }}$ dans le milieu considéré

${\displaystyle {\displaystyle C_{p}}}$ : coefficient de pression

${\displaystyle {\displaystyle C_{v}}}$ : coefficient de vitesse

${\displaystyle c_{p}\,}$ : chaleur massique, ou capacité thermique massique à pression constante

Co : enveloppe convexe fermée

${\displaystyle C}$ : courbe fermée

${\displaystyle d\,}$ : distance entre deux objets ponctuels

${\displaystyle {\displaystyle D\,}}$ : distance entre le Soleil et la planète

${\displaystyle {\textstyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} x}}}}$ : gradient de phase introduit de façon soudaine à l'interface

${\displaystyle E\,}$ : énergie

${\displaystyle E_{c}\,}$ : énergie cinétique

${\displaystyle E_{p}\,}$ : énergie potentielle

${\displaystyle {\displaystyle {\vec {\mathrm {E} }}}}$ : l'onde vectorielle

${\displaystyle F\,}$ : force

${\displaystyle F_{resultante}=\sum F_{i}}$ : force résultante

${\displaystyle f_{k}\,}$ : force de frottement cinétique

${\displaystyle f_{s}\,}$ : force de frottement statique

${\displaystyle g\,}$ : accélération de la gravité

${\displaystyle {\displaystyle g}}$ : accélération de la pesanteur

${\displaystyle {\displaystyle h}}$ : enthalpie spécifique (i.e. par unité de masse)

${\displaystyle {\displaystyle h}}$ : constante de Planck

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {H}}}}$ : l'opérateur hamiltonien

${\displaystyle I\,}$ : percussion mécanique ou, selon le contexte, intensité d'un courant électrique

${\displaystyle {\displaystyle k}}$ : constante de Boltzmann

${\displaystyle m\,}$ : masse

${\displaystyle \mu _{c}\,}$ : coefficient de frottement cinétique

${\displaystyle \mu _{s}\,}$ : coefficient de frottement statique

${\displaystyle F_{N}\,}$ : force normale à une surface ou un axe

${\displaystyle n\,}$ : quantité de matière

${\displaystyle n}$ : l’indice de réfraction du milieu

${\displaystyle \nu \,}$ : fréquence

${\displaystyle {\displaystyle \nu }}$ : fréquence de la radiation électromagnétique

${\displaystyle \omega \,}$ : vitesse angulaire ou pulsation

${\displaystyle {\displaystyle |\psi \rangle }}$ : fonction d'onde

${\displaystyle {\displaystyle \sigma \,}}$: constante de Stefan–Boltzmann

${\displaystyle {\vec {p}}}$ : quantité de mouvement

${\displaystyle {\displaystyle p}}$ : pression au point d'étude

${\displaystyle P\,}$ : puissance ou, selon le contexte, pression

${\displaystyle {\displaystyle \rho }}$ : masse volumique du fluide

${\displaystyle {\displaystyle P^{\circ }}}$ : pression standard (100 000 Pa)

${\displaystyle {\displaystyle P^{\text{sat}}}}$ : pression de vapeur saturante (Pa)

${\displaystyle {\displaystyle \rho gz}}$ : énergie potentielle de pesanteur volumique

${\displaystyle q\,}$ : charge électrique

${\displaystyle Q\,}$ : quantité de chaleur

${\displaystyle {\displaystyle Q_{V}}}$ : débit volumique du fluide (en mètres cubes par seconde)

${\displaystyle r\,}$ : rayon

${\displaystyle {\displaystyle R_{\rm {S}}\,}}$: rayon du Soleil

${\displaystyle {\displaystyle R_{\rm {E}}\,}}$: rayon de la planète

${\displaystyle R\,}$ : résistance électrique

${\displaystyle {\vec {s}}\,}$ : déplacement

${\displaystyle T\,}$ : période ou, selon le contexte, température absolue

${\displaystyle t\,}$ : temps

${\displaystyle {\displaystyle T_{\rm {S}}\,}}$: température réelle du Soleil

${\displaystyle {\displaystyle u}}$ : énergie interne spécifique du fluide

${\displaystyle {\displaystyle \partial /\partial t}}$ : dérivation par rapport à une dépendance explicite par rapport au temps

${\displaystyle \theta \,}$ : angle (voir les annotations à côté de chaque formules)

θ_i : angle d'incidence

θ_{r :} angle de réflexion

${\displaystyle U\,}$ : tension électrique

${\displaystyle V\,}$ : volume

${\displaystyle V_{df}\,}$ : volume de fluide déplacé

${\displaystyle {\displaystyle v}}$ : vitesse au point d'étude

${\displaystyle v_{f}\,}$ : vitesse finale

${\displaystyle v_{i}\,}$ : vitesse initiale

${\displaystyle x_{f}\,}$ : position finale

${\displaystyle x_{i}\,}$ : position initiale

${\displaystyle {\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}}$ : une suite de variables aléatoires.

${\displaystyle x_{n}}$ : désigne le terme de rang ${\displaystyle n}$ dans la suite

${\displaystyle {\displaystyle z}}$ : altitude du point d'étude

ζ : fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers

${\displaystyle {\displaystyle \gamma }}$ : indice adiabatique

${\displaystyle {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}}}$ : énergie cinétique volumique

${\displaystyle {\displaystyle \nabla ^{2}}}$ : l'opérateur laplacien

Cinématique du MRUA ou des cas où l'accélération est constante

Les formules de cinématique lient la position d'un objet, sa vitesse, et son accélération, sans tenir compte de sa masse et des forces qui s'exercent sur lui.

${\displaystyle v=\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)_{{\Delta t}\rightarrow 0}}$ : la vitesse d'un mobile en un instant est la dérivée de la position ${\displaystyle x(t)}$ en fonction du temps, c'est-à-dire aussi la pente de la tangente à la courbe ${\displaystyle x(t)}$ de la position en fonction du temps en cet instant.

${\displaystyle a=\left({\frac {\Delta v}{\Delta t}}\right)_{{\Delta t}\rightarrow 0}}$ : l'accélération d'un mobile en un instant est la dérivée de la vitesse ${\displaystyle v(t)}$ en fonction du temps, c'est-à-dire aussi la pente de la tangente à la courbe ${\displaystyle v(t)}$ de la vitesse en fonction du temps en cet instant.

${\displaystyle \Delta v=a\Delta t\,\,{\rm {avec}}\,\,\Delta v=v_{f}-v_{i}=\,\,{\rm {ou}}\,\,v_{f}=v_{i}+a\Delta t}$ : la vitesse varie linéairement avec le temps

${\displaystyle \Delta x={v_{i}}{t}+{\frac {1}{2}}{at^{2}}\,\,{\rm {avec}}\,\,\Delta x=x_{f}-x_{i}\,\,{\rm {ou}}\,\,x_{f}=x_{i}+{v_{i}}{t}+{\frac {1}{2}}{at^{2}}}$ : l'espace parcouru (ou la position) varie quadratiquement (comme une parabole) avec le temps

d'où l'on peut déduire aussi les relations

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+{v_{i}}{t}+{\frac {1}{2}}{at^{2}}}$

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+{\frac {(v_{i}+v_{f})}{2}}t}$

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+{2a}{(x_{f}-x_{i})}=v_{i}^{2}+2a\Delta x}$

Dynamique

Comme la cinématique, la dynamique concerne le mouvement mais cette fois en prenant en compte la force et la masse des objets.

${\displaystyle {{\vec {F}}_{resultante}}=m.{\vec {a}}\,\ }$ : une force agissant sur un mobile communique à celui-ci une accélération inversement proportionnelle à sa masse. C'est la seconde loi de Newton

${\displaystyle F_{N}=mg\cos \theta \,}$ (${\displaystyle \theta \,}$ est l'angle entre la surface de support et la verticale) : la force normale (perpendiculaire) exercée par une surface faisant un angle ${\displaystyle \theta \,}$ avec l'horizontale, sur un corps est la projection de son poids sur cette direction perpendiculaire

${\displaystyle F_{c}={\mu _{c}}F_{N}\,\ }$ : la force de frottement cinétique, qui apparaît lorsque le point de contact entre l'objet est en mouvement l'une par rapport au support, est proportionnelle à la force avec laquelle le support agit sur l'objet.

${\displaystyle F_{s}={\mu _{s}}F_{N}\,\ }$ : la force de frottement statique, qui apparaît lorsque le point de contact entre l'objet est immobile l'une par rapport au support, est proportionnelle à la force avec laquelle le support agit sur l'objet. Cette dernière est presque toujours plus grande que la force de frottement cinétique (donc ${\displaystyle {\mu _{s}}>{\mu _{c}}}$)

Travail, énergie, et puissance

Le travail, l'énergie et la puissance décrivent la manière dont les objets affectent la nature.

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$ -- définition du travail mécanique, en toute généralité et en particulier si la force change le long du déplacement. Si la force est constante (en direction, sens et norme) sur tout le déplacement, cette relation devient simplement : :${\displaystyle W={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {x}}}$

${\displaystyle W=\Delta {E_{c}}\,\!}$ : une expression du théorème de l'énergie cinétique

${\displaystyle W=-\Delta {E_{p}}\,\!}$ : une définition de l'énergie potentielle, quand on n'a affaire qu'à une seule force, de nature conservative.

${\displaystyle E_{p}=mgh\,\!}$ : l'énergie potentielle par rapport à une hauteur repère h est donnée par le produit du poids et de la hauteur h.

${\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}\,\!}$ : l'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle

${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}{mv^{2}}\,\!}$ : définition de l'énergie cinétique d'un corps (formule appliquée à des exemples simples, ce n'est en rien une formule générale)

${\displaystyle P={\frac {dE}{dt}}=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {v}}\,\!}$

${\displaystyle P_{moy}={\frac {\Delta E}{\Delta t}}\,\!}$

${\displaystyle {\displaystyle {v^{2} \over 2}+g\,z+\left({\gamma \over \gamma -1}\right){p \over \rho }=\mathrm {constante} }}$

${\displaystyle {\displaystyle {v^{2} \over 2}+g\,z+{p \over \rho }=\mathrm {constante} }}$

${\displaystyle {\displaystyle e_{c}+e_{g}+e_{p}=\mathrm {constante} }}$

${\displaystyle {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p=\mathrm {constante} }}$

${\displaystyle e_{c}={1 \over 2}{m \over V}v^{2}={1 \over 2}\rho v^{2}}$ est une densité volumique d'énergie cinétique

${\displaystyle {\displaystyle e_{g}={m \over V}gz=\rho gz}}$ est une densité volumique d'énergie potentielle gravitationnelle

${\displaystyle {\displaystyle e_{p}=p}}$ est une densité volumique d'énergie potentielle, dont dérivent les forces de pression dans l'équation de Navier-Stokes

${\displaystyle {\displaystyle {1 \over 2}\,\rho \,{v_{A}}^{2}+p_{A}+\rho \,g\,z_{A}+{P \over Q_{V}}={1 \over 2}\,\rho \,{v_{B}}^{2}+p_{B}+\rho \,g\,z_{B}}}$est une forme étendue de l’équation de Bernoulli, qui tient compte d’un apport de puissance mécanique au fluide

${\displaystyle {\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}}}$ est une expression correspondant à la pression dynamique en mécanique des fluides

${\displaystyle {1 \over 2}\,\rho \,v^{2}+p={1 \over 2}\,\rho \,{v_{\infty }}^{2}+p_{\infty }}$ est l’équation de Bernoulli écrite entre un point quelconque de l’écoulement et l’infini amont

${\displaystyle p-p_{\infty }={1 \over 2}\,\rho \,{v_{\infty }}^{2}-{1 \over 2}\,\rho \,v^{2}}$

${\displaystyle {1 \over 2}\,\rho \,{v_{\infty }}^{2}}$ est un terme classique en dynamique des fluides

${\displaystyle {p-p_{\infty } \over {1 \over 2}\,\rho \,{v_{\infty }}^{2}}=1-{v^{2} \over {v_{\infty }}^{2}}}$ est une forme classique de la pression adimensionnelle en aérodynamique

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {1 \over 2}\,\rho \,{v_{\infty }}^{2}}}$ est la définition classique du coefficient de pression ${\displaystyle C_{p}}$ en aérodynamique

${\displaystyle C_{v}={v \over v_{\infty }}}$ est la définition du coefficient de vitesse ${\displaystyle C_{v}}$ en aérodynamique ou mécanique des fluides

${\displaystyle {\displaystyle C_{p}=1-{C_{v}}^{2}}}$ est une variante adimensionnelle de l’équation de Bernoull

${\displaystyle {\displaystyle \Delta E_{pp}+\Delta E_{k}=W}}$ est une formulation énergétique générale en mécanique des fluides ou en mécanique des solides. Toutes les forces qui s'exercent (forces pressantes et poids) sont conservatives (il n'y a pas d'effet visqueux).

${\displaystyle {\displaystyle \Delta E_{k}=\Delta m({v_{2}}^{2}-{v_{1}}^{2})/2}}$ est la variation d'énergie cinétique du système

${\displaystyle {\displaystyle \Delta E_{pp}=\Delta m\;g\,h_{2}-\Delta m\;g\,h_{1}}}$est la variation d'énergie potentielle de pesanteur du système

${\displaystyle {\displaystyle W=p_{1}A_{1}\,(v_{1}\Delta t)-p_{2}A_{2}\,(v_{2}\Delta t)}}$est le travail des forces de pressions

${\displaystyle {\displaystyle {1 \over 2}\,\Delta m\;{v_{2}}^{2}-{1 \over 2}\,\Delta m\;{v_{1}}^{2}+\Delta m\;g\,h_{2}-\Delta m\;g\,h_{1}=p_{1}\,A_{1}\,(v_{1}\,\Delta t)-p_{2}\,A_{2}\,(v_{2}\,\Delta t)}}$est une formulation de l’équation du travail-énergie appliquée à un écoulement de fluide

${\displaystyle {\displaystyle {v^{2} \over 2}+g\,h+{p \over \rho }=C}}$ est l’équation de Bernoulli pour un écoulement de fluide parfait

${\displaystyle {\displaystyle {1 \over 2}\,\Delta m\,{v_{2}}^{2}-{1 \over 2}\,\Delta m\,{v_{1}}^{2}+\Delta m\,g\,h_{2}-\Delta m\,g\,h_{1}+\Delta m\,u_{2}-\Delta m\,u_{1}=p_{1}\,A_{1}\,(v_{1}\,\Delta t)-p_{2}\,A_{2}\,(v_{2}\,\Delta t)}}$est une équation de conservation de l’énergie appliquée à une masse de fluide Δm qui se déplace d’une section 1 à une section 2 pendant un temps Δt.

${\displaystyle {\displaystyle {{v_{1}}^{2} \over 2}+g\,h_{1}+u_{1}+{p_{1} \over \rho }={{v_{2}}^{2} \over 2}+g\,h_{2}+u_{2}+{p_{2} \over \rho }}}$est la forme générale de l’équation d’énergie entre deux points 1 et 2 d’un écoulement

${\displaystyle {\displaystyle \gamma ={\omega \over u}}}$

Mouvement harmonique simple et pendule simple

${\displaystyle {\vec {F}}=-k\Delta {\vec {x}}\,\!}$ : la force exercée sur un corps par un ressort est proportionnelle à l'allongement de celui-ci par rapport à sa position d'équilibre, et est orientée dans le sens opposé à cet allongement. C'est une force de rappel. k est la raideur du ressort) d'après la loi de Hooke

${\displaystyle T_{ressort}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}\,\!}$ : la période d'une masse m accrochée à un ressort de rigidité k est proportionnelle à la racine du rapport de la masse et de cette rigidité

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{T}}\,\!}$ : fréquence de l'oscillation

${\displaystyle \omega =2\pi {\frac {1}{T}}\,\!=2\pi \nu ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ : pulsation de l'oscillation

${\displaystyle E_{pe}={\frac {1}{2}}kx^{2}\,\!}$ : énergie potentielle élastique

${\displaystyle v_{max,ressort}=x_{max}{\sqrt {\frac {k}{m}}}\,\!}$

${\displaystyle T_{pendule}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\,\!}$ (pour un pendule simple)

thermodynamique hors équilibre

${\displaystyle {\displaystyle \mathrm {d} u=T\,\mathrm {d} S+m\,\mathrm {d} r}}$ est une équation qui représente une différentielle totale de l’énergie interne ${\displaystyle {\displaystyle u}}$

${\displaystyle {\displaystyle \mathrm {d} S={1 \over T}\,\mathrm {d} u-{m \over T}\,\mathrm {d} r}}$ est une équation qui représente une forme différentielle de l’entropie.

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\partial _{t}u+\nabla .\,\mathbf {J} _{u}&=&0\\[0.6em]\partial _{t}r+\nabla .\,\mathbf {J} _{r}&=&0\end{array}}}}$ sont des équations de conservation locale. cela signifie que la variation temporelle locale d’une quantité est compensée par le flux qui entre ou sort du volume.

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{array}{rcl}J_{u}&=&L_{uu}\nabla \left({1 \over T}\right)+L_{ur}\nabla \left(-{m \over T}\right)\\[0.6em]J_{r}&=&L_{ru}\nabla \left({1 \over T}\right)+L_{rr}\nabla \left(-{m \over T}\right)\end{array}}}}$ sont les lois phénoménologiques linéaires de la thermodynamique hors équilibre.Elles expriment que les flux sont proportionnels aux forces thermodynamiques.

Quantité de mouvement

La quantité de mouvement est la grandeur associée à la vitesse d'une masse, en mécanique classique.

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}\,\!}$ -- définition : la quantité de mouvement d'un corps est le produit de sa masse par sa vitesse.

${\displaystyle I=\int F\,dt}$ -- définition : l'impulsion ou percussion mécanique reçue par un corps est, si la force exercée sur celui-ci est constante dans le temps, le produit de la force et du temps.

${\displaystyle \Delta p\,\!=I}$ : la variation de quantité de mouvement d'un corps durant un certain temps ${\displaystyle \Delta t}$ est donnée par l'impulsion ou percussion mécanique communiquée à ce corps

${\displaystyle m_{1}{\vec {v_{1}}}+m_{2}{\vec {v_{2}}}=m_{1}{\vec {v_{1}'}}+m_{2}{\vec {v_{2}'}}\,\!}$ : dans un système pour lequel l'impulsion communiquée à un corps est nulle, la quantité de mouvement ne change pas. Ceci est une expression de la conservation de la quantité de mouvement, qui s'applique aux systèmes isolés ou pseudo-isolés.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}'^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}'^{2}\,\!}$ (Note: ceci n'est valable que pour les collisions élastiques)

Mouvement circulaire uniforme et gravitation

Un objet, par exemple un satellite autour d'une planète ou une planète autour du soleil, se déplace sur une circonférence à vitesse dont la grandeur est constante.

Dans cette section, ${\displaystyle a_{c}}$ et ${\displaystyle F_{c}}$ représentent respectivement l'accélération centripète et la force centripète.

${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{t^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle F_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}\,\!}$

${\displaystyle F_{g}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,\!}$ où ${\displaystyle r}$ est la distance entre les centres des masses : loi de la gravitation universelle

${\displaystyle a_{gravite}=G{\frac {m_{planete}}{r^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle v_{satellite}={\sqrt {\frac {Gm_{planete}}{R}}}}$

${\displaystyle E_{p}^{gravitationnelle}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r}}}$ : la référence (:${\displaystyle E_{p}^{gravitationnelle}=0}$) est à une distance infinie de l'objet qui crée le potentiel

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}}}={\frac {T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}}}}$ exprime une des lois de Kepler

Électricité

${\displaystyle F_{q_{1},q_{2}}=K{\frac {q_{1}q_{2}}{d_{12}^{2}}}}$ est la loi de Coulomb qui exprime la force exercée par une charge sur une autre. Dans le vide, K=9,0 × 10⁹ N m²/C²

tension (loi d'ohm) :${\displaystyle U=RI}$ :

${\displaystyle R={\frac {\rho l}{s}}}$ : la résistance d'un conducteur ohmique est proportionnelle à sa longueur et inversement proportionnelle à sa section

Thermodynamique

La thermodynamique concerne les liens macroscopiques entre énergie, mouvement et entropie des particules microscopiques.

${\displaystyle Q=mc_{p}\Delta T\,\!}$ (à pression constante)

${\displaystyle \Delta L=L_{i}\alpha \Delta T\,\!}$ : l'allongement thermique d'un barreau est proportionnel à la longueur et à l'écart de température.

${\displaystyle \Delta V=V_{i}\gamma \Delta T\,\!}$ : la dilatation thermique d'une object de volume ${\displaystyle V_{i}}$ est proportionnelle à ce volume et à l'écart de température.

${\displaystyle PV=nRT\,\!}$ est la loi des gaz parfaits ; la constante des gaz parfaits, R, a pour valeur approchée 8,31 J mol⁻¹ K⁻¹.

${\displaystyle {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {H}}]={\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}}}$ est le commutateur des opérateurs  ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {A}}}}$ et ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {H}}}}$.

${\displaystyle {\displaystyle h=u+{p \over \rho }}}$ définit l’enthalpie massique en thermodynamique.

${\displaystyle {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}}}$ définit le coefficient adiabatique

${\displaystyle {\displaystyle {v^{2} \over 2}+g\,z+h=\mathrm {constante} }}$

Propagation des ondes et coordonnées cartésiennes

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathrm {E} }}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathrm {E} }}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathrm {E} }}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathrm {E} }}}{\partial t^{2}}}}}$ est l’équation d’onde pour le champ électrique ${\displaystyle {\displaystyle {\vec {\mathrm {E} }}}}$ en 3 dimensions

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\mathrm {E} }}}{\partial u^{2}}}}}$ est l'opérateur de dérivée partielle seconde en ${\displaystyle {\displaystyle u}}$ appliqué sur ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm {\vec {E}} }}$

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}}}$ avec ${\displaystyle {\displaystyle c={\sqrt {\frac {kL^{2}}{m}}}}}$ est l’équation d’onde d’Alembert en 1D, appliquée à un système mécanique discret type ressort ou chaîne de masses

${\displaystyle {\displaystyle m_{dx}}}$ est une masse infinitésimale correspondant à un élément de longueur dx, d’aire A, ou de volume dV

${\displaystyle {\displaystyle k_{dx}}}$ est une raideur d’un petit élément de longueur ${\displaystyle dx}$

${\displaystyle {\displaystyle F_{\mathrm {rappel} }=F_{x+2h}-F_{x}=k_{dx}\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k_{dx}[u(x+h,t)-u(x,t)]}}$ La force de ${\displaystyle F_{\mathrm {rappel} }}$ Frappe exercée sur un point de la chaîne situé en ${\displaystyle x}$${\displaystyle +}$${\displaystyle h}$ est définie comme la différence des forces élastiques exercées par les ressorts voisins : Cela correspond à la différence finie seconde du déplacement, qui est l’analogue discret de la dérivée seconde spatiale ∂2u/∂x2

${\displaystyle {\displaystyle m_{dx}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}(x+h,t)=k_{dx}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}}$ cela exprime la deuxième loi de Newton appliquée à la masse ${\displaystyle mdx}$ située en ${\displaystyle x}$+${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\displaystyle N}}$ est le nombre total de points matériels (ou de masses) dans le modèle discret (chaîne de masses–ressorts)

${\displaystyle {\displaystyle L=N\times h}}$ est une équation qui exprime la longueur totale ${\displaystyle L}$ du système discret est égale au produit du nombre de segments ${\displaystyle N}$par la distance ${\displaystyle h}$ séparant deux points consécutifs.C’est la relation géométrique reliant la discrétisation du système à sa longueur totale.

${\displaystyle {\displaystyle m=N\times m_{dx}}}$ la masse totale ${\displaystyle m}$ est égale au nombre d’éléments ${\displaystyle N}$ multiplié par la masse d’un élément ${\displaystyle mdx}$

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {N}{k_{dx}}}}}$ L'inverse de la constante de raideur équivalente à N ressorts en série vaut la somme des inverses des constantes de raideur des N ressorts.

${\displaystyle {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}(x+h,t)={kL^{2} \over m}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}}$ est une équation des ondes discrétisées (modèle masse–ressort) .C'est une approximation par différences finies de la dérivée seconde spatiale. l’accélération d’un point est proportionnelle à la courbure locale de la corde., autrement dit, plus la corde est courbée localement, plus la force de rappel est grande.

Onde sur une corde vibrante

Asymétrie baryonique

${\displaystyle {\displaystyle \beta _{0}={\frac {({N_{B}}-{N_{\bar {B}}})}{N_{\gamma }}}\approx 3\times 10^{-10}}}$ Est l’asymétrie baryonique de l’Univers.Ce rapport indique qu’il existe environ 3 baryons en excès pour 10 milliards de photons dans l’Univers.Autrement dit, la matière et l’antimatière ont été produites presque en quantités égales au début de l’Univers, mais avec une très légère asymétrie en faveur de la matière.

Notes et références

3. L'inverse de la constante de raideur équivalente à N ressorts en série vaut la somme des inverses des constantes de raideur des N ressorts.

Voir aussi