Image d'une application

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On appelle image d'une application $f$ (d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$ ) l'image directe par $f$ de l'ensemble de départ $A$ . C'est donc le sous-ensemble de $B$ contenant les images de tous les éléments de $A$ , et uniquement ces images. On le note $Im(f)$ .

Im (f) = {y \in B ∣ \exists x \in A f (x) = y} = {f (x) ∣ x \in A} = f (A)

.

Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment $[-1, 1]$ . »

Une application est surjective si et seulement si son image coïncide avec son ensemble d'arrivée.

Une application est dite injective si tout élément de son ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par f.

Une application est dite bijective si elle est à la fois surjective et injective, ce qui signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et que celui-ci est unique.

On peut aussi parler d'image réciproque d'une fonction qui est définie par:

$Im (f^{- 1}) = {x \in A ∣ f (x) \in B} = f^{- 1} (B)$

Notes et références

Notes

↑ Cette affirmation n'est vraie que si l'ensemble de départ est l'ensemble des nombres réels $ℝ$ et est incorrecte si on généralise à l'ensemble des nombres complexes $ℂ$ .

Références

1 2 François Liret, Maths en pratique : À l'usage des étudiants, Dunod, 2006, 600 p. (ISBN 978-2100496297, lire en ligne), p. 13

Articles connexes

Image d'une application linéaire
Lemme des noyaux
Catégorie abélienne
Limite projective
Noyau (algèbre)
Image d'une fonction multivaluée (autrement dit : d'une relation binaire).

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[2] Cette affirmation n'est vraie que si l'ensemble de départ est l'ensemble des nombres réels $ℝ$ et est incorrecte si on généralise à l'ensemble des nombres complexes $ℂ$ .

[Liret-1] 1 2 François Liret, Maths en pratique : À l'usage des étudiants, Dunod, 2006, 600 p. (ISBN 978-2100496297, lire en ligne), p. 13