Immersion compacte

Espaces topologiques

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique, et soient ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle W}$ des sous-ensembles de ${\displaystyle X}$. On dit que ${\displaystyle V}$ est immergé de manière compacte dans ${\displaystyle W}$ si :

• ${\displaystyle V\subseteq \operatorname {Cl} (V)\subseteq \operatorname {Int} (W)}$, où ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$ désigne l'adhérence de ${\displaystyle V}$ et ${\displaystyle \operatorname {Int} (W)}$ désigne l'intérieur de ${\displaystyle W}$ ;
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$ est compact.

Pour les espaces séparés (espaces de Hausdorff) cela équivaut à l'existence d'un ensemble compact ${\displaystyle K}$ tel que ${\displaystyle V\subseteq K\subseteq \operatorname {Int} (W)}$.

Espaces normés

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux espaces vectoriels normés, munis respectivement des normes ${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$ et ${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$, et supposons que ${\displaystyle X\subseteq Y}$. On dit que ${\displaystyle X}$ est imergé de manière compacte dans ${\displaystyle Y}$ si :

• ${\displaystyle X}$ est immergé de manière compacte dans ${\displaystyle Y}$ ; c'est-à-dire qu'il existe une constante ${\displaystyle C}$ telle que ${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$ pour tout ${\displaystyle x\in X}$ ;
• L'injection de ${\displaystyle X}$ dans ${\displaystyle Y}$ est un opérateur compact : toute partie bornée dans ${\displaystyle X}$ est totalement bornée dans ${\displaystyle Y}$ ; autrement dit, toute suite contenue dans un tel ensemble borné admet une sous-suite qui est une suite de Cauchy pour la norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$.

Espaces de Banach

Si ${\displaystyle Y}$ est un espace de Banach, une définition équivalente consiste à dire que l'opérateur d'injection (l'application identité) ${\displaystyle i\colon X\to Y}$ est un opérateur compact.

Notes

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compact embedding » (voir la liste des auteurs).

Références