Écart interquartile

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En statistiques, l’écart interquartile (aussi appelé étendue interquartile ou EI ; en anglais, interquartile range ou IQR) est une mesure de dispersion qui s'obtient en faisant la différence entre le troisième et le premier quartile :

EI = Q₃ - Q₁.

L'EI est un estimateur statistique robuste.

Exemples

Tableau de données

Valeurs	%	Quartile
1	102
2	104
3	105	Q₁
4	107
5	108
6	109	Q₂ (médiane)
7	110
8	112
9	115	Q₃
10	116
11	118

L'écart interquartile de cette distribution de données (noté EI), est EI = Q3 - Q1 = 115 - 105 = 10.

Données dans une boîte à moustaches

                             +−−−−−+−+
               * |−−−−−−−−−−−|     | |−−−−−−−−−−−|
                             +−−−−−+−+

 +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+   Number line
 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12

Cette boîte à moustaches sommaire montre :

premier quartile $Q_{1}=7$
deuxième quartile (médiane) $Q_{2}=8,5$
troisième quartile $Q_{3}=9$
écart interquartile $Q_{3}-Q_{1}=2$

Calcul de l'écart interquartile

Il existe plusieurs méthodes de calcul rapides de l'écart interquartile.

Méthode de la médiane

On calcule d'abord la médiane de l'échantillon, ce qui permet de séparer le tirage en deux sous-échantillons (celui des valeurs inférieures à la médiane, et celui des valeurs supérieures), puis on calcule les médianes respectives de ces deux sous-échantillons. L'écart interquartile est alors la différence de ces deux médianes. Cette méthode peut être faite de deux façons, inclusive (on rajoute la médiane de l'échantillon dans les deux sous-échantillons) ou exclusive (on exclut la médiane des deux sous-échantillons).

Utilisations

L'écart interquartile permet de mesurer l'étalement des valeurs centrales de l'échantillon.

Cet indicateur peut servir de test de normalité d'un échantillon $X$ : en notant la moyenne de l'échantillon $X$ et $σ$ son écart type, on peut comparer Q1 et $X$ – $σ$ EI, et Q3 et $X$ + $σ$ EI, si ces deux différences sont trop élevées, on peut rejeter l'hypothèse de normalité de l'échantillon. Ce test est cependant peu robuste et on lui préfère les tests de Kolmogorov-Smirnov ou de Shapiro-Wilk.

Cet indicateur est aussi utilisé dans l'identification des valeurs aberrantes par la règle donnée par John Tukey : toute valeur de l'échantillon inférieure à Q1 – 1,5 EI ou supérieure à Q3 + 1,5 EI est à considérer comme aberrante. Cette méthode est cependant peu adaptée pour les distributions non centrées ou à queue.

Voir aussi

Moyenne interquartile

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Interquartile range » (voir la liste des auteurs).

↑ Voir par exemple cet ouvrage de leçons au CAPES.
↑ Personnel de rédaction, « 2754 – Les mesures de dispersion », Allô-prof, 2011 (consulté le 8 février 2011)
↑ (en) John Tukey, Exploratory Data Analysis, Pearson (ISBN 0201076160)
↑ (en) Peter J. Rousseeuw et Mia Hubert, « Robust statistics for outlier detection », WIREs Data Mining Knowl Discov, vol. 1,‎ 2011, p. 73–79 (DOI 10.1002/widm.2)

Portail des probabilités et de la statistique

[1] Voir par exemple cet ouvrage de leçons au CAPES.

[2] Personnel de rédaction, « 2754 – Les mesures de dispersion », Allô-prof, 2011 (consulté le 8 février 2011)

[3] (en) John Tukey, Exploratory Data Analysis, Pearson (ISBN 0201076160)

[4] (en) Peter J. Rousseeuw et Mia Hubert, « Robust statistics for outlier detection », WIREs Data Mining Knowl Discov, vol. 1,‎ 2011, p. 73–79 (DOI 10.1002/widm.2)