Justin Bouraux naît à Saint-Claude dans le département du Jura. Son grand-père, Michel Doudier, est une ancienne figure du FC Saint-Claude, où il évoluait au poste de demi d'ouverture lorsque le club évoluait au deuxième échelon national,. Il commence le rugby à XV dans le club de sa ville natale, où il côtoie notamment Enzo Reybier, avant de rejoindre l'US Oyonnax en minimes.
Il dispute son premier match avec l'équipe première le sur le terrain de l'US Carcassonne. Au cours de la rencontre, il voit un de ses coups de pied contrés, amenant à un essai adverse, compensé par un coup de pied décisif pour obtenir l'essai du bonus offensif.
Au cours de la saison 2022-2023, il entre pleinement dans la rotation du club oyonnaxien, étant notamment titularisé lors de la demi-finale face au RC Vannes. À l'issue de la saison, Bouraux et ses coéquipiers sont sacrés champions de Pro D2.
En , il prolonge son contrat avec Oyonnax jusqu'en 2026. Lors de la saison 2023-2024, il est l'unique joueur du club à disputer tous les matchs de Top 14, soit 26 rencontres dont 17 comme titulaire.
Lors de la saison 2025-2026 en Pro D2, il s'affirme comme l'un des meilleurs réalisateurs du championnat: au printemps 2026, il en est le deuxième meilleur marqueur avec 253 points, soit une moyenne d'environ 10 points par match.
À l'intersaison 2026, l'ASM Clermont Auvergne annonce son recrutement pour deux saisons plus une en option, soit un contrat jusqu'en juin 2028 avec une option jusqu'en juin 2029. Le club auvergnat le recrute pour être la doublure du Néo-Zélandais Harry Plummer au poste de demi d'ouverture.
Style de jeu
Demi d'ouverture également capable d'évoluer à l'arrière, Justin Bouraux se distingue par ses qualités de buteur. Lors de la saison 2025-2026 de Pro D2, il est le deuxième meilleur réalisateur du championnat avec 253 points, soit environ 10 points par match. Il est aussi remarqué pour sa régularité: lors de la saison 2023-2024, il est le seul joueur d'Oyonnax à disputer l'intégralité des rencontres de Top 14.
Titulaire à Oyonnax dès l'âge de 20 ans, il est décrit par le manager clermontois Christophe Urios comme un joueur «très jeune et pourtant très expérimenté».
Études
En parallèle de sa carrière de rugbyman, il mène des études de BTS en bâtiment par correspondance après l'obtention d'un bac STI2D.
