Matrice hamiltonienne

En mathématiques, une matrice hamiltonienne (ou de Hamilton) A est une matrice réelle 2n×2n satisfaisant la condition que le produit KA soit symétrique, K étant la matrice antisymétrique :

${\displaystyle K={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

et I_n étant la matrice identité n×n. En d'autres termes, ${\displaystyle A}$ est hamiltonienne si et seulement si :

${\displaystyle KA-A^{T}K^{T}=KA+A^{T}K=0.\,}$

Dans l'espace vectoriel des matrices 2n×2n, les matrices hamiltoniennes forment un sous-espace vectoriel de dimension 2n² + n.

Propriétés

• Soit ${\displaystyle M}$ une matrice par bloc 2n×2n donnée par :

  ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

  où ${\displaystyle A,B,C,D}$ sont des matrices n×n. Alors ${\displaystyle M}$ est une matrice hamiltonienne à condition que ${\displaystyle B,C}$ soient symétriques et que ${\displaystyle A+D^{T}=0}$.

• La transposée d'une matrice hamiltonienne est hamiltonienne.
• La trace d'une matrice hamiltonienne est nulle.
• Le commutateur de deux matrices hamiltoniennes est hamiltonien.
• Les valeurs propres de ${\displaystyle M}$ sont symétriques par rapport à l'axe imaginaire.

L'espace des matrices hamiltoniennes est une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {Sp}}(2n)}$.

Opérateurs hamiltoniens

Soit V un espace vectoriel, doté d'une forme symplectique ${\displaystyle \Omega }$. Une application linéaire ${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$ est appelée opérateur hamiltonien par rapport à ${\displaystyle \Omega }$ si l'application ${\displaystyle x,y\mapsto \Omega (A(x),y)}$ est symétrique. De manière équivalente, elle doit satisfaire :

${\displaystyle \Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))}$

Soit une base ${\displaystyle e_{1},...e_{2n}}$ de V telle que ${\displaystyle \Omega }$ soit écrite ${\displaystyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$. un opérateur linéaire est hamiltonien par rapport à ${\displaystyle \Omega }$ si et seulement si sa matrice dans cette base est hamiltonienne. Cette définition implique que le carré d'une matrice hamiltonienne est anti-hamiltonien. L'exponentiel d'une matrice hamiltonienne est symplectique, et le logarithme d'une matrice symplectique est hamiltonien.

Voir aussi

• Matrice symplectique

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hamiltonian matrix » (voir la liste des auteurs).

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