Mesure de Gibbs

En physique et en mathématiques, la mesure de Gibbs, qui doit son nom à Willard Gibbs, est une mesure de probabilité que l'on rencontre fréquemment dans de nombreux problèmes relevant de la théorie des probabilités, de la mécanique statistique et de la théorie des systèmes dynamiques. Il s'agit d'une généralisation de l'ensemble canonique aux systèmes infinis. L'ensemble canonique définit la probabilité qu'un système X se trouve dans un état x (ou, de manière équivalente, que la variable aléatoire X prenne la valeur x) comme suit :

${\displaystyle P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x))}$

Ici, E est une fonction définie sur l'espace des états et à valeurs dans l'ensemble des nombres réels ; dans les applications en physique, E(x) est interprétée comme l'énergie de la configuration x. Le paramètre β est un paramètre libre. En physique, il correspond à l'inverse de la température. La constante de normalisation Z(β) est appelée fonction de partition. Toutefois, dans le cas des systèmes infinis, l'énergie totale n'est plus un nombre fini et ne peut donc pas être utilisée dans la construction classique de la distribution de probabilité d'un ensemble canonique. Les approches traditionnelles en physique statistique étudient la limite des grandeurs intensives lorsque la taille d'un système fini tend vers l'infini (la limite thermodynamique). Lorsque la fonction d'énergie peut s'écrire comme une somme de termes ne faisant chacun intervenir que des variables relatives à un sous-système fini, la notion de mesure de Gibbs offre une approche alternative. Les mesures de Gibbs ont été proposées par des probabilistes tels que Roland Dobrouchine, Oscar Lanford et David Ruelle. Elles offrent un cadre permettant d'étudier directement des systèmes infinis, plutôt que de procéder par passage à la limite à partir de systèmes finis.

Une mesure est dite « mesure de Gibbs » si les probabilités conditionnelles qu'elle induit sur chaque sous-système fini satisfont à une condition de cohérence : si tous les degrés de liberté situés en dehors du sous-système fini sont figés, alors l'ensemble canonique associé à ce sous-système — compte tenu de ces conditions aux limites — coïncide avec les probabilités définies par la mesure de Gibbs, conditionnées par les degrés de liberté figés.

Le théorème de Hammersley-Clifford implique que toute mesure de probabilité satisfaisant une propriété de Markov est une mesure de Gibbs, pour un choix approprié de fonction d'énergie (définie localement). Par conséquent, la notion de mesure de Gibbs s'applique à des problèmes variés, bien au-delà du domaine de la physique : on peut citer, par exemple, les réseaux de Hopfield, les réseaux de Markov, les réseaux logiques de Markov, ainsi que — en théorie des jeux et en économie — les jeux potentiels à rationalité limitée. Dans un système caractérisé par des interactions locales (à portée finie), une mesure de Gibbs maximise la densité d'entropie pour une densité d'énergie espérée donnée ; de manière équivalente, elle minimise la densité d'énergie libre.

Pour un système infini, la mesure de Gibbs n'est pas nécessairement unique, contrairement à l'ensemble canonique d'un système fini. L'existence de plusieurs mesures de Gibbs est associée à des phénomènes statistiques tels que la brisure de symétrie et la coexistence de phases.

Physique statistique

L'ensemble des mesures de Gibbs sur un système est toujours convexe. Par conséquent, soit il existe une unique mesure de Gibbs (le système est alors dit « ergodique »), soit il en existe une infinité (le système est alors dit « non ergodique »). Dans le cas non ergodique, les mesures de Gibbs peuvent s'exprimer comme l'ensemble des combinaisons convexes d'un nombre beaucoup plus restreint de mesures de Gibbs particulières, appelées « représentation mathématique d'un état pur » (à ne pas confondre avec la notion — apparentée mais distincte — d'« état pur » en mécanique quantique). Dans les applications physiques, l'hamiltonien (la fonction d'énergie) présente généralement une certaine forme de « localité », et les états purs possèdent la propriété de « décomposition en amas (en) », selon laquelle des sous-systèmes très éloignés les uns des autres sont indépendants. En pratique, les systèmes physiquement réalistes se trouvent dans l'un de ces états purs.

Si l'hamiltonien possède une symétrie, alors une mesure de Gibbs unique (c'est-à-dire ergodique) sera nécessairement invariante par cette symétrie. Cependant, dans le cas de mesures de Gibbs multiples (c'est-à-dire non ergodiques), les états purs ne sont généralement pas invariants par rapport à la symétrie du hamiltonien. Par exemple, dans le modèle d'Ising ferromagnétique infini, en dessous de la température critique, il existe deux états purs — les états « majoritairement orientés vers le haut » et « majoritairement orientés vers le bas » — qui sont échangés par la symétrie ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ du modèle.

Propriété de Markov

Un exemple de la propriété de Markov peut être observé dans la mesure de Gibbs du modèle d'Ising. La probabilité qu'un spin donné σ_k se trouve dans un état s pourrait, en principe, dépendre des états de tous les autres spins du système. On peut donc exprimer cette probabilité comme suit :

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)}$

Cependant, dans un modèle d'Ising ne comportant que des interactions à portée finie (par exemple, des interactions entre plus proches voisins), on a en réalité :

${\displaystyle P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})}$

où N_k désigne un voisinage du site k. Autrement dit, la probabilité au site k ne dépend que des spins situés dans un voisinage fini. Cette dernière équation correspond à une propriété de Markov locale. Les mesures possédant cette propriété sont parfois appelées champs aléatoires de Markov. Plus précisément, la réciproque est également vraie : toute distribution de probabilité strictement positive (dont la densité est partout non nulle) vérifiant la propriété de Markov peut être représentée comme une mesure de Gibbs associée à une fonction d'énergie appropriée. C'est le théorème de Hammersley-Clifford.

Définition formelle sur un réseau

Ce qui suit constitue une définition formelle pour le cas particulier d'un champ aléatoire défini sur un réseau. La notion de mesure de Gibbs est cependant beaucoup plus générale.

La définition d'un champ aléatoire de Gibbs sur un réseau nécessite l'introduction de quelques termes :

• Le réseau : un ensemble dénombrable ${\displaystyle \mathbb {L} }$.
• L'espace des spins individuels : un espace probabilisé ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}},\lambda )}$.
• L'espace des configurations : ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$, où ${\displaystyle \Omega =S^{\mathbb {L} }}$ et ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }}$.
• Étant donné une configuration ω ∈ Ω et un sous-ensemble ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$, la restriction de ω à Λ est notée ${\displaystyle \omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }}$. Si ${\displaystyle \Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset }$ et ${\displaystyle \Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L} }$, alors la configuration ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}}$ est la configuration dont les restrictions à Λ₁ et Λ₂ sont, respectivement, ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{1}}}$ et ${\displaystyle \omega _{\Lambda _{2}}}$.
• L'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ de tous les sous-ensembles finis de ${\displaystyle \mathbb {L} }$.
• Pour chaque sous-ensemble ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {L} }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Lambda }}$ est la tribu borélienne (ou ${\displaystyle \sigma }$-algèbre) engendrée par la famille de fonctions ${\displaystyle (\sigma (t))_{t\in \Lambda }}$, où ${\displaystyle \sigma (t)(\omega )=\omega (t)}$. La réunion de ces tribus, lorsque ${\displaystyle \Lambda }$ parcourt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, constitue l'algèbre des ensembles cylindriques (en) sur le réseau.
• Le potentiel : une famille ${\displaystyle \Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}}$ de fonctions ${\displaystyle \Phi _{A}:\Omega \to \mathbb {R} }$ telle que :
  1. Pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {L}}}$, ${\displaystyle \Phi _{A}}$ est ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$-mesurable, ce qui signifie qu'elle ne dépend que de la restriction ${\displaystyle \omega _{A}}$ (et ce, de manière mesurable).
  2. Pour tout ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ et tout ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, la série suivante est bien définie :

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega )}$

On interprète ${\displaystyle \Phi _{A}}$ comme la contribution à l'énergie totale (le hamiltonien) associée à l'interaction entre tous les points de l'ensemble fini ${\displaystyle A}$. Ainsi, ${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )}$ représente la contribution à l'énergie totale provenant de tous les ensembles finis ${\displaystyle A}$ qui ont une intersection non vide avec ${\displaystyle \Lambda }$. Notons que l'énergie totale est généralement infinie ; toutefois, en se « localisant » sur chaque ${\displaystyle \Lambda }$, on peut espérer obtenir une valeur finie.

• L'hamiltonien dans ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ avec des conditions aux limites ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$, pour le potentiel Φ, est défini par

${\displaystyle H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)}$

où ${\displaystyle \omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}}$ désigne la configuration qui prend les valeurs de ${\displaystyle \omega }$ dans ${\displaystyle \Lambda }$, et celles de ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ dans ${\displaystyle \Lambda ^{c}:=\mathbb {L} \setminus \Lambda }$.

• La fonction de partition dans ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$ avec des conditions aux limites ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ et une température inverse β > 0 (pour le potentiel Φ et λ) est définie par

${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))}$

où

${\displaystyle \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t))}$

est la mesure produit.

Un potentiel Φ est dit λ-admissible si ${\displaystyle Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})}$ est fini pour tout ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega }$ et β > 0. Une mesure de probabilité μ sur ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ est une mesure de Gibbs pour un potentiel Φ λ-admissible si elle satisfait l'équation de Dobrushin–Lanford–Ruelle :

${\displaystyle \int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))\,1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A)}$

pour tout ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ et tout ${\displaystyle \Lambda \in {\mathcal {L}}}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gibbs measure » (voir la liste des auteurs).

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