Dans le domaine des processus stochastiques, la mesure de Green est une mesure associée à une diffusion d'Itō. Il existe une formule de Green associée qui permet d'exprimer des fonctions suffisamment régulières à l'aide de la mesure de Green et des premiers temps de sortie de la diffusion. Ces concepts, qui tirent leur nom du mathématicien britannique George Green, constituent des généralisations de la fonction de Green et de la formule de Green classiques au cadre stochastique, en s'appuyant sur la formule de Dynkin.
Soit X une diffusion d'Itō à valeurs dans Rn, satisfaisant une équation différentielle stochastique d'Itō de la forme :
Soit Px la mesure de probabilité de X sachant la condition initiale X0 = x, et soit Ex l'espérance par rapport à Px. Soit LX le générateur infinitésimal de X, c'est-à-dire :
Soit D ⊆ Rn un domaine ouvert et borné ; soit τD le temps de première sortie de X hors de D :
Intuitivement, la mesure de Green d'un ensemble borélien H (par rapport à un point x et un domaine D) correspond à la durée moyenne pendant laquelle un processus X, partant du point x, séjourne dans H avant de quitter le domaine D. Ainsi, la mesure de Green associée à X, relative au domaine D et au point x — notée G(x, ⋅) — est définie, pour toute tribu borélienne H ⊆ Rn, par :
ou, pour toute fonction continue bornée f : D → R, par :
L'appellation « mesure de Green » provient du fait que, si X est un mouvement brownien, alors :
où G(x, y) désigne la fonction de Green associée à l'opérateur LX (qui, dans le cas du mouvement brownien, correspond à 12Δ, où Δ est l'opérateur de Laplace) sur le domaine D.
Supposons que Ex[τD] < +∞ pour tout x ∈ D, et soit f : Rn → R une fonction de classe C2 à support compact. Alors
En particulier, pour une fonction f de classe C2 dont le support est inclus dans un compact contenu dans D
La démonstration de la formule de Green est une application directe de la formule de Dynkin et de la définition de la mesure de Green :
![{\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f7203eaff05121c1c51d066c84ef6ec9b62bff)
![{\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9144f11efbc0cab48bd5a27aa6c3894badeb28e)
![{\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513d46a658bf8e20b495bae16c497867e06b7dae)
![{\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f5f9e8e9023fb7ef600ba577b4198575cff4c7)
![{\displaystyle =f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}L_{X}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a9cd5bcc1b5eece6956f01d891d7541ff3c0f0)
