Formule de Dynkin

Dans le domaine des processus stochastiques la formule de Dynkin donne l'espérance mathématique d'une fonction suffisamment régulière appliquée à un processus de Feller à un temps d'arrêt. Elle peut être vue comme une généralisation stochastique du théorème fondamental de l'analyse. Elle tire son nom du mathématicien russe Eugene Dynkin.

Théorème

Soit ${\displaystyle X}$ un processus de Feller de générateur infinitésimal ${\displaystyle A}$. Pour un point ${\displaystyle x}$ appartenant à l'espace d'états de ${\displaystyle X}$, notons ${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$ la loi de ${\displaystyle X}$ avec la condition initiale ${\displaystyle X_{0}=x}$, et ${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}}$ l'espérance associée à la mesure ${\displaystyle \mathbf {P} ^{x}}$. Alors, pour toute fonction ${\displaystyle f}$ appartenant au domaine de ${\displaystyle A}$, et pour tout temps d'arrêt ${\displaystyle \tau }$ tel que ${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$, la formule de Dynkin est vérifiée :

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

Exemple : diffusion d'Itô

Soit ${\displaystyle X}$ une diffusion d'Itô à valeurs dans ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, solution de l'équation différentielle stochastique

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

Le générateur infinitésimal ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ est défini par son action sur les fonctions ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$ de classe ${\displaystyle C^{2}}$ (deux fois dérivables, à dérivée seconde continue) et à support compact, comme suit :

${\displaystyle Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}}$

ou, de manière équivalente :

${\displaystyle Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)}$

Comme ${\displaystyle X}$ est un processus de Feller, la formule de Dynkin s'applique. En effet, si ${\displaystyle \tau }$ désigne le premier temps de sortie d'un ensemble borné ${\displaystyle B\subset \mathbf {R} ^{n}}$ avec ${\displaystyle \mathbf {E} [\tau ]<+\infty }$ ; alors, la formule de Dynkin est valable pour toute fonction ${\displaystyle f}$ de classe ${\displaystyle C^{2}}$, sans supposer qu'elle soit à support compact.

Application : mouvement brownien sortant d'une boule

La formule de Dynkin permet de déterminer l'espérance du premier temps de sortie ${\displaystyle \tau _{K}}$ d'un mouvement brownien ${\displaystyle B}$ hors de la boule fermée ${\displaystyle K=\{x\in \mathbf {R} ^{n}:\,|x|\leq R\},}$ qui, lorsque ${\displaystyle B}$ part d'un point ${\displaystyle a}$ situé dans l'intérieur de ${\displaystyle K}$, est donnée par

${\displaystyle \mathbf {E} ^{a}[\tau _{K}]={\frac {1}{n}}{\big (}R^{2}-|a|^{2}{\big )}}$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dynkin formula » (voir la liste des auteurs).

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