Processus de Feller

Ne doit pas être confondu avec Processus de Feller continu.

En théorie des probabilités, dans le cadre des processus stochastiques, un processus de Feller est un type particulier de processus de Markov.

Définitions

Soit ${\textstyle X}$ un espace localement compact et séparé (au sens de Hausdorff) possédant une base dénombrable. Soit ${\textstyle C_{0}(X)}$ l'espace des fonctions continues à valeurs réelles sur ${\textstyle X}$ qui s'annulent à l'infini, muni de la norme uniforme (en) (ou norme du supremum) ${\textstyle \|f\|}$. D'après les résultats classiques d'analyse, ${\textstyle C_{0}(X)}$, muni de cette norme, est un espace de Banach.

Un semi-groupe de Feller sur ${\textstyle C_{0}(X)}$ est un demi-groupe de contraction de classe C0 (en) constitué d'opérateurs linéaires positifs (en) agissant sur ${\textstyle C_{0}(X)}$. Concrètement, il s'agit d'une famille ${\textstyle (T_{t})_{t\geq 0}}$ d'applications linéaires de ${\textstyle C_{0}(X)}$ dans lui-même, possédant les propriétés suivantes :

• ${\textstyle T_{t}f\geq 0}$ pour tout ${\textstyle t\geq 0}$ et toute fonction ${\textstyle f\in C_{0}(X)}$ telle que ${\textstyle f\geq 0}$ ; autrement dit, chaque ${\textstyle T_{t}}$ est un opérateur linéaire positif ;
• ${\textstyle \|T_{t}f\|\leq \|f\|}$ pour tout ${\textstyle t\geq 0}$ et toute fonction ${\textstyle f\in C_{0}(X)}$ ; il s'agit donc d'une application contractante (au sens large) ;
• ${\textstyle T_{0}=\operatorname {Id} }$ et ${\textstyle T_{t+s}=T_{t}\circ T_{s}}$ pour tous ${\textstyle s,t\geq 0}$ ; il s'agit donc d'un demi-groupe ;
• ${\textstyle \lim _{t\to 0}\|T_{t}f-f\|=0}$ pour toute fonction ${\textstyle f\in C_{0}(X)}$. En utilisant la propriété de demi-groupe, cela équivaut au fait que l'application ${\textstyle t\mapsto T_{t}f}$, de ${\textstyle [0,\infty )}$ vers ${\textstyle C_{0}(X)}$, soit continue à droite pour toute fonction ${\textstyle f}$.

Attention : cette terminologie n'est pas uniforme dans la littérature. En particulier, l'hypothèse selon laquelle ${\textstyle T_{t}}$ envoie ${\textstyle C_{0}(X)}$ dans lui-même est, chez certains auteurs, remplacée par la condition que ${\textstyle T_{t}}$ envoie ${\textstyle C_{b}(X)}$ — l'espace des fonctions continues bornées — dans lui-même. Cela se justifie pour deux raisons : premièrement, cela permet d'inclure des processus qui « arrivent depuis l'infini » en un temps fini. Deuxièmement, cette approche est mieux adaptée aux espaces qui ne sont pas localement compacts, pour lesquels la notion de « fonction tendant vers zéro à l'infini » n'a pas de sens.

Une fonction de transition de Feller est une fonction de transition de probabilité associée à un semi-groupe de Feller.

Un processus de Feller est un processus de Markov muni d'une fonction de transition de Feller.

Générateur

Les processus de Feller (ou les semi-groupes de transition associés) peuvent être décrits par leur générateur infinitésimal. Une fonction ${\textstyle f\in C_{0}(X)}$ appartient au domaine du générateur si la limite uniforme

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}}}$

existe. L'opérateur ${\textstyle A}$ est le générateur du demi-groupe ${\textstyle (T_{t})_{t\geq 0}}$, et l'espace des fonctions sur lequel il est défini est noté ${\textstyle D(A)}$. Une caractérisation des opérateurs pouvant constituer le générateur infinitésimal de processus de Feller est fourni par le théorème de Hille-Yosida. Celui-ci fait intervenir la résolvante du demi-groupe de Feller, définie ci-dessous.

Résolvante

La résolvante d'un processus (ou demi-groupe) de Feller est une famille d'applications ${\displaystyle (R_{\lambda })_{\lambda >0}}$ de ${\displaystyle C_{0}(X)}$ dans lui-même, définie par :

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

On peut démontrer qu'elle vérifie l'identité suivante :

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }={\frac {R_{\mu }-R_{\lambda }}{\lambda -\mu }}}$

Par ailleurs, pour tout ${\displaystyle \lambda >0}$ fixé, l'image de ${\displaystyle R_{\lambda }}$ correspond au domaine ${\displaystyle D(A)}$ du générateur ${\displaystyle A}$, et l'on a :

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1}\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}\end{aligned}}}$

Exemples

• Le mouvement brownien et le processus de Poisson sont des exemples de processus de Feller (les semi-groupes de Feller associés étant définis par ${\displaystyle T_{t}f:=\mathbb {E} [f(X_{t})]}$). Plus généralement, tout processus de Lévy est un processus de Feller.
• Les processus de Bessel sont des processus de Feller.
• Les solutions d'équations différentielles stochastiques dont les coefficients sont lipschitziens sont des processus de Feller.
• Tout processus de Feller adapté et continu à droite, défini sur un espace probabilisé filtré ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$, vérifie la propriété de Markov forte par rapport à la filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ; c'est-à-dire que, pour tout temps d'arrêt ${\displaystyle \tau }$ relatif à la filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$, et conditionnellement à l'événement ${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$, on a, pour tout ${\displaystyle t\geq 0}$, que ${\displaystyle X_{\tau +t}}$ est indépendant de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$ connaissant ${\displaystyle X_{\tau }}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Feller process » (voir la liste des auteurs).

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