Mesure de Mahler

En mathématiques, la mesure de Mahler est une mesure de la complexité des polynômes. Elle porte le nom de Kurt Mahler (1903–1988) et était à l'origine utilisée dans la recherche de grands nombres premiers. En raison de la connexion à des valeurs particulières des fonctions L, elle fait l'objet de nombreuses conjectures en théorie analytique des nombres. Elle est aussi utilisée dans les Bornes de Landau-Mignotte reliant les coefficients d'un polynôme aux coefficient de ses diviseurs.

Définition

La mesure de Mahler $M (p)$ d'un polynôme $p (x) \in ℂ [x]$ à coefficients réels ou complexes est par définition :

M (p) = lim_{τ \to 0} ‖ p ‖_{τ} = \exp (\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \ln (| p (e^{i θ}) |) d θ) .

où

‖ p ‖_{τ} = {(\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | p (e^{i θ}) |^{τ} d θ)}^{1 / τ}

est la norme $L_{τ}$ de $p$ . À l'aide de la formule de Jensen, on peut montrer que pour la factorisation :

p (z) = a (z - α_{1}) (z - α_{2}) \dots (z - α_{n})

on obtient l'expression :

M (p) = | a | \prod_{i = 1}^{n} max {1, | α_{i} |} = | a | \prod_{| α_{i} | \geq 1} | α_{i} |

.

La mesure de Mahler logarithmique d'un polynôme est définie comme

m (p) = \log M (p)

.

La mesure de Mahler d'un nombre algébrique $α$ est définie comme la mesure de Mahler du polynôme minimal de $α$ sur $ℚ$ .

Démonstration

La formule de Jensen affirme que pour une fonction holomorphe $f$ ayant pour zéros $α_{1}, \dots, α_{N}$ sur le disque fermé $\overline{D (0, r)}$ on a la relation

\log | f (0) | = - \sum_{k = 1}^{N} \log (\frac{r}{| α_{k} |}) + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \log | f (r e^{i θ}) | d θ .

En appliquant cette formule à la fonction $f (z) = \frac{P (z)}{a}$ où $P (z) = a (z - α_{1}) (z - α_{2}) \dots (z - α_{n})$ en $r = 1$ on obtient :

0 + \sum_{k \in [[1, n]] et | α_{k} | < 1} \log (\frac{1}{α_{k}}) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \log (| P (e^{i θ}) / a |) d θ = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \log (| P (e^{i θ}) |) d θ - \log (| a |)

.

En passant le $\log (| a |)$ de l'autre côté de l'égalité et en appliquant la relations coefficients racines qui donne $| a | = | α_{1} \dots α_{n} |$ , puis en passant à l'exponentielle on retrouve bien $M (P) = | a | \prod_{k = 1}^{n} max (1, | α_{k} |)$ .

Propriétés

La mesure de Mahler est multiplicative, c'est-à-dire : $M (p q) = M (p) \cdot M (q) .$
Pour les polynômes cyclotomiques et leurs produits, on a $M (p) = 1$ .
Théorème de Kronecker : Si $p$ un polynôme unitaire irréductible à coefficients entiers et $M (p) = 1$ , alors soit $p (z) = z$ , soit $p$ est un polynôme cyclotomique.
La conjecture de Lehmer (en) stipule qu'il existe une constante $μ > 1$ telle que tout polynôme irréductible $p$ à coefficients entiers est soit cyclotomique soit vérifie $M (p) > μ$ .
La mesure de Mahler d'un polynôme unitaire à coefficients entiers est un nombre de Perron .

Valeurs spéciales des fonctions L

Il existe de nombreuses relations, en partie conjecturées et en partie également prouvées, entre les mesures de Mahler (logarithmiques) des polynômes et des valeurs particulières des fonctions L .

Historiquement, le premier exemple est la formule de Smyth:

m (1 + x_{1} + x_{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4 π} L (χ_{- 3}, 2) = \int_{1 / 6}^{5 / 6} \ln (2 \sin (π t)) d t = \frac{1}{π} {Cl}_{2} (\frac{π}{3})

où

L (χ_{- 3}, s) = \frac{1}{1^{s}} - \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{4^{s}} - \frac{1}{5^{s}} + - \dots

.

et (Boyd 1981)

m (1 + x_{1} + x_{2} + x_{3}) = \frac{7}{2 π^{2}} ζ (3)

Une conjecture de Ted Chinburg affirme que, pour tout entier positif $f$ , il existe un polynôme de Laurent $P_{f} \in ℤ (x, y)$ et un nombre rationnel $r_{f} \in ℚ$ tel que

m (P_{f}) = r_{f} d_{F}

où

d_{f} = \frac{f \sqrt{f}}{4 π} L (χ_{- f}, 2)

est le discriminant du caractère $χ_{- f} (n) = (\frac{- f}{n})$ .

Une approche qui remonte à Boyd et Rodriguez-Villegas consiste à représenter les mesures logarithmiques de Mahler d'une certaine classe de polynômes comme des combinaisons linéaires rationnelles de valeurs du dilogarithme de Bloch-Wigner d'arguments algébriques, et de mettre ces valeurs à leur tour en relation avec le volume d'une variété hyperbolique, et en les reliant à des valeurs spécifiques de fonctions zêta via le théorème de Borel.

Mesure de Mahler pour les polynômes de plusieurs variables

La mesure de Mahler $M (p)$ d'un polynôme $p (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℂ [x_{1}, \dots, x_{n}]$ est défini de manière analogue par la formule

M (p) = \exp (\frac{1}{(2 π)^{n}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \dots \int_{0}^{2 π} \ln (| p (e^{i θ_{1}}, e^{i θ_{2}}, \dots, e^{i θ_{n}}) |) d θ_{1} d θ_{2} \dots d θ_{n}) .

On peut montrer que $M (p)$ converge (Lawton 1983).

Pour $𝒓 = (r_{1}, \dots, r_{n}) \in ℕ^{n}$ , soit

q (𝒓) := min {max {| s_{j} | : 1 \leq j \leq N} : s = (s_{1}, \dots, s_{N}) \in ℤ^{N}, s \neq (0, \dots, 0) and \sum_{j = 1}^{N} s_{j} r_{j} = 0}

Alors on a :

M (p (x_{1}, \dots, x_{n})) = lim_{\binom{𝒓 \in ℕ^{n}}{q (𝒓) \to \infty}} M (p (x^{r_{1}}, x^{r_{2}}, \dots, x^{r_{n}})) .

Bibliographie

J. L. Jensen, « Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions », Acta Mathematica, vol. 22,‎ 1899, p. 359–364 (DOI 10.1007/BF02417878 )
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(en) Daniel S. Silver et Susan G. Williams, « Lehmer’s question, graph complexity growth and links », The New York Journal of Mathematics, vol. 27,‎ 2021, p. 981-1008 (lire en ligne).

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Mahler-Maß » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Jonathan Borwein et Armin Straub, « Log-sine evaluations of Mahler measures », Journal of the Australian Mathematical Society, vol. 92, n^o 1,‎ 2012, p. 15—36 (DOI 10.1017/S1446788712000067)

Liens externes

(en) David Boyd, « Mahler measure », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Jonathan Borwein et Armin Straub, « Log-sine evaluations of Mahler measures », Journal of the Australian Mathematical Society, vol. 92, n^o 1,‎ 2012, p. 15—36 (DOI 10.1017/S1446788712000067)