Mesure harmonique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie du potentiel, la mesure harmonique est un concept lié à la théorie des fonctions harmoniques qui découle de la résolution du problème de Dirichlet classique.

En théorie des processus stochastiques la mesure harmonique d'un sous-ensemble de la frontière d'un domaine borné dans l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (${\displaystyle n\geq 2}$) est la probabilité qu'un mouvement brownien partant de l'intérieur du domaine, atteigne ce sous-ensemble de la frontière. Plus généralement, la mesure harmonique associée à une diffusion d'Itō X décrit la distribution de X au moment où ce processus atteint la frontière d'un domaine D. Dans le plan complexe la mesure harmonique permet d'estimer le module d'une fonction analytique à l'intérieur d'un domaine D, connaissant des bornes sur ce module au niveau de la frontière du domaine. Le théorème des trois cercles de Hadamard constitue un cas particulier de ce principe. Pour les domaines plans simplement connexes, il existe un lien étroit entre la mesure harmonique et la théorie des transformations conformes.

Le terme « mesure harmonique » a été introduit par Rolf Nevanlinna en 1928 dans le contexte des domaines plans^,. Nevanlinna note toutefois que cette idée apparaissait déjà implicitement dans des travaux antérieurs de Ingebrigt Johansson, Frigyes Riesz, Marcel Riesz, Torsten Carleman, Alexander Ostrowski et Gaston Julia. Le lien entre la mesure harmonique et le mouvement brownien a été mis en évidence pour la première fois par Shizuo Kakutani en 1944

Définition

Soit D un domaine ouvert et borné de l'espace euclidien à n dimensions Rⁿ (avec n ≥ 2), et soit ∂D sa frontière. Toute fonction continue f : ∂D → R détermine une unique fonction harmonique H_f qui est solution du problème de Dirichlet :

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

Pour un point x ∈ D fixé, le théorème de théorème de représentation de Riesz-Markov-Kakutani combiné au principe du maximum permet d'établir que H_f(x) définit une mesure de probabilité ω(x, D) sur ∂D telle que :

${\displaystyle H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y)}$

La mesure ω(x, D) est appelée mesure harmonique (du domaine D de pôle x).

Propriétés

• Pour tout sous-ensemble borélien E de ∂D, la mesure harmonique ω(x, D)(E) est égale à la valeur au point x de la solution du problème de Dirichlet dont la donnée au bord est la fonction indicatrice de E.
• Pour D et E ⊆ ∂D fixés, ω(x, D)(E) est une fonction harmonique de x ∈ D et

${\displaystyle 0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1}$

${\displaystyle 1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E)}$

Par conséquent, pour tout x et tout D, ω(x, D) est une mesure de probabilité sur ∂D.

• Si ω(x, D)(E) = 0 en un point x de D, alors la fonction ${\displaystyle y\mapsto \omega (y,D)(E)}$ est identiquement nulle ; on dit alors que E est un ensemble de mesure harmonique nulle. Il s'agit d'une conséquence de l'inégalité de Harnack.

Comme il n'existe généralement pas de formules explicites pour la mesure harmonique, on cherche à déterminer des conditions garantissant qu'un ensemble est de mesure harmonique nulle.

• Théorème de F. et M. Riesz : Si ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est un domaine plan simplement connexe dont la frontière est une courbe rectifiable (c'est-à-dire si ${\displaystyle H^{1}(\partial D)<\infty }$), alors la mesure harmonique est mutuellement absolument continue par rapport à la mesure de longueur d'arc : pour tout ${\displaystyle E\subset \partial D}$, on a ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=0}$ si et seulement si ${\displaystyle H^{1}(E)=0}$.

• Théorème de Makarov : Soit ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ un domaine plan simplement connexe. Si ${\displaystyle E\subset \partial D}$ et si ${\displaystyle H^{s}(E)=0}$ pour un certain ${\displaystyle s<1}$, alors ${\displaystyle \omega (x,D)(E)=0}$. De plus, la mesure harmonique sur D est mutuellement singulière par rapport à la mesure de Hausdorff de dimension t pour tout t > 1.

• Théorème de Dahlberg : Si ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ est un domaine lipschitzien borné, alors la mesure harmonique et la mesure de Hausdorff de dimension ${\displaystyle n-1}$ sont mutuellement absolument continues : pour tout ${\displaystyle E\subset \partial D}$, on a ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=0}$ si et seulement si ${\displaystyle H^{n-1}(E)=0}$.

Exemples

• Si ${\displaystyle \mathbb {D} =\{X\in \mathbb {R} ^{2}:|X|<1\}}$ est le disque unité, alors la mesure harmonique de ${\displaystyle \mathbb {D} }$ de pôle à l'origine est la mesure de longueur sur le cercle unité, normalisée pour être une probabilité ; c'est-à-dire ${\displaystyle \omega (0,\mathbb {D} )(E)=|E|/2\pi }$ pour tout ${\displaystyle E\subset S^{1}}$, où ${\displaystyle |E|}$ désigne la longueur de ${\displaystyle E}$.

• Si ${\displaystyle \mathbb {D} }$ est le disque unité et ${\displaystyle X\in \mathbb {D} }$, alors ${\displaystyle \omega (X,\mathbb {D} )(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{2}}}{\frac {dH^{1}(Q)}{2\pi }}}$ pour tout ${\displaystyle E\subset S^{1}}$, où ${\displaystyle H^{1}}$ désigne la mesure de longueur sur le cercle unité. La dérivée de Radon-Nikodym ${\displaystyle d\omega (X,\mathbb {D} )/dH^{1}}$ est appelée noyau de Poisson.

• Plus généralement, si ${\displaystyle n\geq 2}$ et que ${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}=\{X\in \mathbb {R} ^{n}:|X|<1\}}$ est la boule unité de dimension n, alors la mesure harmonique de pôle ${\displaystyle X\in \mathbb {B} ^{n}}$ est donnée par ${\displaystyle \omega (X,\mathbb {B} ^{n})(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}}$ pour tout ${\displaystyle E\subset S^{n-1}}$, où ${\displaystyle H^{n-1}}$ désigne la mesure de surface (la mesure de Hausdorff de dimension n − 1) sur la sphère unité ${\displaystyle S^{n-1}}$, avec ${\displaystyle H^{n-1}(S^{n-1})=\sigma _{n-1}}$.

• 

  Si ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est un domaine plan simplement connexe délimité par une courbe de Jordan et si X${\displaystyle \in }$D, alors ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2\pi }$ pour tout ${\displaystyle E\subset \partial D}$, où ${\displaystyle f:\mathbb {D} \rightarrow D}$ est l'unique application conforme de Riemann telle que l'image de l'origine soit X, c'est-à-dire ${\displaystyle f(0)=X}$. Voir le théorème de Carathéodory.

• Si ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est le domaine délimité par le flocon de Koch, alors il existe un sous-ensemble ${\displaystyle E\subset \partial D}$ du flocon de Koch tel que ${\displaystyle E}$ soit de longueur nulle (${\displaystyle H^{1}(E)=0}$) et possède une mesure harmonique totale ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=1}$.

La mesure harmonique d'une diffusion

Considérons une diffusion d'Itō X à valeurs dans Rⁿ partant d'un point x situé à l'intérieur d'un domaine D, et notons P^x sa loi. Supposons que l'on cherche à déterminer la distribution des points par lesquels X quitte D. Par exemple, le mouvement brownien canonique B sur la droite réelle, partant de 0, quitte l'intervalle (−1, +1) en -1 avec une probabilité de 1/2 et en +1 avec une probabilité de 1/2 ; ainsi, B_{τ(−1, +1)} suit une loi uniforme sur l'ensemble {−1, +1}.

De manière générale, si G est un sous-ensemble de Rⁿ dont l'adhérence est compacte, alors la mesure harmonique (ou distribution d'atteinte ) de X sur la frontière ∂G de G est la mesure μ_G^x définie par :

${\displaystyle \mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}}$

pour tout x ∈ G et tout F ⊆ ∂G.

En revenant à l'exemple précédent du mouvement brownien, on peut montrer que si B est un mouvement brownien dans Rⁿ partant de x ∈ Rⁿ et si D ⊂ Rⁿ est une boule ouverte centrée en x, alors la mesure harmonique de B sur ∂D est invariante par toute rotation de D autour de x et coïncide avec la mesure de surface normalisée sur ∂D.

Références