Mesure invariante

En mathématiques une mesure invariante est une mesure qui est préservée par une transformation géométrique ou lors d'un processus stochastique^,.

Ainsi la théorie ergodique est l'étude des mesures invariantes dans les systèmes dynamiques. Le théorème de Krylov-Bogolioubov démontre l'existence de mesures invariantes sous certaines conditions portant sur la fonction et l'espace considérés.

Définition

Soit ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ un espace mesurable et soit ${\displaystyle f:X\to X}$ une fonction mesurable de ${\displaystyle X}$ dans lui-même. Une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ est dite invariante par ${\displaystyle f}$ si, pour tout ensemble mesurable ${\displaystyle A}$ appartenant à ${\displaystyle \Sigma }$

$${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A)}$$

En termes de mesure image, on s'écrit ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu }$

Toute mesure (généralement une mesure de probabilité) sur ${\displaystyle X}$ qui est invariante par ${\displaystyle f}$ est parfois notée ${\displaystyle M_{f}(X)}$. L'ensemble des mesures ergodiques ${\displaystyle E_{f}(X)}$ constitue un sous-ensemble de ${\displaystyle M_{f}(X)}$. Par ailleurs, toute combinaison convexe de deux mesures invariantes est également invariante ; ainsi, ${\displaystyle M_{f}(X)}$ est un ensemble convexe. ${\displaystyle E_{f}(X)}$ est constitué des points extrémaux de ${\displaystyle M_{f}(X)}$.

Dans le cas d'un système dynamique ${\displaystyle (X,T,\varphi )}$ où ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ est un espace mesurable (comme précédemment), ${\displaystyle T}$ est un monoïde et ${\displaystyle \varphi :T\times X\to X}$ un flot. Une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ est dite mesure invariante si elle l'est pour chaque application ${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$ Plus précisément, ${\displaystyle \mu }$ est invariante si et seulement si

$${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ pour tout }}\;t\in T,A\in \Sigma .}$$

En d'autres termes, ${\displaystyle \mu }$ est une mesure invariante pour une suite de variables aléatoires ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$ (par exemple une chaîne de Markov ou la solution d'une équation différentielle stochastique) si, lorsque la condition initiale ${\displaystyle Z_{0}}$ suit la loi ${\displaystyle \mu ,}$ alors ${\displaystyle Z_{t}}$ suit également cette même loi pour tout instant ultérieur ${\displaystyle t.}$

Lorsque le système dynamique peut être décrit par un opérateur de transfert, la mesure invariante correspond à un vecteur propre de cet opérateur associé à la valeur propre ${\displaystyle 1}$ ; il s'agit de la plus grande valeur propre, conformément au théorème de Perron-Frobenius.

Exemples

• L'angle est invariant par rotation, l'angle hyperbolique est invariant par rotation hyperbolique et la différence entre des pentes de courbes dans le plan est invariante par transvection.
• Considérons la droite réelle ${\displaystyle \mathbb {R} }$ munie de sa tribu borélienne usuelle ; fixons ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ et considérons l'application de translation ${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie par : $${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$$. Alors, la mesure de Lebesgue unidimensionnelle ${\displaystyle \lambda }$ est une mesure invariante pour ${\displaystyle T_{a}}$.
• Plus généralement, sur l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ muni de sa tribu borélienne usuelle, la mesure de Lebesgue ${\displaystyle n}$-dimensionnelle ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ est une mesure invariante pour toute isométrie de l'espace euclidien, c'est-à-dire toute application ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ pouvant s'écrire sous la forme : $${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$ où ${\displaystyle A\in O(n)}$ est une matrice orthogonale ${\displaystyle n\times n}$ et ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}$ est un vecteur.
• Dans le premier exemple, la mesure invariante est unique, à une renormalisation près par une constante multiplicative. Ce n'est pas nécessairement toujours le cas : considérons un ensemble constitué de deux points seulement, ${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$, et l'application identité ${\displaystyle T=\operatorname {Id} }$, qui laisse chaque point fixe. Alors, toute mesure de probabilité ${\displaystyle \mu$ :\mathbf {S} \to \mathbb {R} } est invariante. Notons que ${\displaystyle \mathbf {S} }$ admet, de manière triviale, une décomposition en composantes ${\displaystyle T}$-invariantes ${\displaystyle \{A\}}$ et ${\displaystyle \{B\}}$.
• La mesure d'aire dans le plan euclidien est invariante sous l'action du groupe spécial linéaire ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$, constitué des matrices réelles ${\displaystyle 2\times 2}$ de déterminant unité.
• Tout groupe localement compact possède une mesure de Haar qui est invariante par l'action du groupe (par translation).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Invariant measure » (voir la liste des auteurs).

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