Multi-indice

Cet article ne cite pas suffisamment ses sources (décembre 2025).

Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».

En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.

Un multi-indice de taille n est un vecteur

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

à coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ entiers positifs.

Au multi-indice α est associé sa longueur (parfois appelée module) ${\displaystyle |\alpha |}$, définie par :

${\displaystyle |\alpha |\ =\ \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\ =\ \alpha _{1}\ +\ \dots \ +\ \alpha _{n}}$

Il convient de préciser que les multi-index peuvent représenter des sous-ensembles de k éléments pris dans n, déterminés par le calcul combinatoire.

Notations adaptées

On utilise pour un vecteur ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de composantes ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\alpha _{k}}}$

Et on peut introduire l'opérateur différentiel

${\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}\qquad {\hbox{avec}}\qquad \partial _{i}^{j}:={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{i}^{j}}}.}$

Cet opérateur est par exemple utilisé dans certaines preuves de continuité de la Transformée de Fourier. Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz).

Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que :

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}}$

Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :

${\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}$

Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha$ !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}

Les coefficients multinomiaux peuvent également s'écrire à l'aide d'une notation multi-indice :

${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha$ !}}} où ${\displaystyle |\alpha |=k\,}$

Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i\in [\![1;n]\!],\quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad }$

Application à des formules usuelles

Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.

Notes et références

Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue ! Comment faire ?

Bibliographie

• (en) Gérard Bricogne, « Multi-index notation », dans Tables internationales de cristallographie, vol. B, 2010, 26 p. (ISBN 0-7923-6592-5, lire en ligne).

• Portail des mathématiques