Multifonction convexe

En mathématiques, une multifonction convexe est une multifonction entre espaces vectoriels réels dont le graphe est convexe.

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels réels. On dit qu'une multifonction $F : X ⊸ Y$ est une multifonction convexe si son graphe $𝒢 (F) := {(x, y) \in X \times Y : y \in F (x)}$ est convexe dans l'espace vectoriel produit $X \times Y .$ Il revient au même de dire que, pour tout $(x_{0}, x_{1}) \in X^{2}$ et tout $t \in [0, 1]$ , on a

F ((1 - t) x_{0} + t x_{1}) \supset (1 - t) F (x_{0}) + t F (x_{1}) .

Quelques remarques

Une multifonction convexe univoque est une fonction affine.
Si $f : X \to ℝ \cup {+ \infty}$ est une fonction convexe, $f$ n'est en général pas une multifonction convexe, mais la multifonction $x \mapsto [f (x), + \infty [\subset ℝ$ est convexe (son graphe est l'épigraphe de $f$ ).

Propriété immédiate

Si $F : X ⊸ Y$ est une multifonction convexe et si $C$ est convexe dans $X$ , alors $F (C)$ est convexe dans $Y$ (car $F (C)$ est la projection sur $Y$ du convexe $𝒢 (F) \cap (C \times Y)$ de $X \times Y$ ).

Annexe

Articles connexes

Bibliographie

(en) J.F. Bonnans and A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Verlag, New York.

Portail de l'analyse

v · m Convexité
Géométrie convexe	Article général : Ensemble convexe Outils et résultats fondamentaux : Enveloppe convexe Adhérence, intérieur et frontière d'un convexe Projection sur un convexe fermé Séparation des convexes Points remarquables à la frontière d'un convexe Polytope Théorème de Krein-Milman Lemme de Farkas Géométrie combinatoire : Théorème de Carathéodory Théorème de Radon Théorème de Helly Géométrie métrique : Courbe de largeur constante Théorème des quatre sommets Algorithmes de géométrie convexe : Approche polyédrique Marche de Jarvis Parcours de Graham Théorème optimisation/séparation Optimisation linéaire : Optimisation linéaire Algorithme du simplexe Génération de colonnes
Interactions géométrie-analyse	Théorème de Hahn-Banach Fonctionnelle de Minkowski
Analyse convexe	Articles principaux : Ensemble convexe Fonction convexe Outils et résultats fondamentaux : Conditions de Karush-Kuhn-Tucker Inégalité de Jensen Algorithmique : Méthodes de points intérieurs
Utilisations de la convexité	Inégalités de convexité : Inégalité arithmético-géométrique Inégalité de Hölder Inégalité de Popoviciu Analyse fonctionnelle : Espace localement convexe Théorème du point fixe de Schauder Localisation de zéros de polynômes : Théorème de Gauss-Lucas Théorie des nombres : Théorème de Minkowski