Produit de Kronecker

Exemple

Comme le montre l'exemple ci-dessous, le produit de Kronecker de deux matrices consiste à recopier plusieurs fois la deuxième matrice, en la multipliant par le coefficient correspondant à un terme de la première matrice.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}}$

Bilinéarité, associativité

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour A, B et C, on a les équations suivantes :

${\displaystyle A\otimes (B+\lambda \ \cdot C)=(A\otimes B)+\lambda (A\otimes C)}$

${\displaystyle (A+\lambda \ \cdot B)\otimes C=(A\otimes C)+\lambda (B\otimes C)}$

${\displaystyle A\otimes (B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C}$

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant les matrices A ⊗ B et B ⊗ A sont équivalents à une permutation près; plus précisément, pour toutes A et B il existe deux matrices de permutation P et Q telles que A ⊗ B = P (B ⊗ A) Q. Si de plus A et B sont carrées et de même taille, alors A ⊗ B et B ⊗ A sont semblables par permutation sur les vecteurs de la base :

${\displaystyle A\otimes B=P^{-1}(B\otimes A)P={}^{t}\!P(B\otimes A)P}$

où P est une matrice de permutation.

Propriétés sur les produits

Produit mixte

La propriété suivante mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker lorsque les tailles des matrices sont telles qu'il est possible de former les produits AC et BD:

${\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD)}$

On peut en déduire que A ⊗ B est inversible si et seulement si A et B sont inversibles, auquel cas :

${\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}}$

Commutateurs

Si A et C sont deux matrices carrées de même taille, et B et D sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité sur les commutateurs

${\displaystyle [A\otimes B,C\otimes D]=[A,C]\otimes (BD)+(CA)\otimes [B,D]}$,

ou

${\displaystyle [A\otimes B,C\otimes D]=[A,C]\otimes (DB)+(AC)\otimes [B,D]}$.

Produit de Hadamard

Si A et C sont deux matrices carrées de même taille, et B et D sont deux matrices carrées de même taille, alors on a l'égalité

${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)=(A\circ C)\otimes (B\circ D).}$

où le signe ${\displaystyle \circ }$ désigne le produit matriciel de Hadamard.

Spectre

En utilisant la propriété précédente on déduit que si X et Y sont des vecteurs propres de A et B : ${\displaystyle AX=\lambda \ X}$ et ${\displaystyle BY=\mu \ Y}$, alors :

${\displaystyle (A\otimes B)(X\otimes Y)=\lambda \mu (X\otimes Y)}$

Donc si ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ et ${\displaystyle \mu _{1},\cdots ,\mu _{m}}$ sont les valeurs propres de A et B, alors ${\displaystyle \lbrace \lambda _{i}\cdot \mu _{j},i=1,\cdots ,n,j=1,\cdots ,m\rbrace }$ sont les valeurs propres de A ⊗ B, en comptant la multiplicité.

En particulier:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (A\otimes B)=\operatorname {Tr} (A)\operatorname {Tr} (B)}$

${\displaystyle \operatorname {det} (A\otimes B)=\operatorname {det} (A)^{m}\operatorname {det} (B)^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {rg} (A\otimes B)=\operatorname {rg} (A)\operatorname {rg} (B)}$

où Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang de la matrice.

Transposition

On a la propriété suivante sur la transposée :

${\displaystyle {}^{t}\!(A\otimes B)={}^{t}\!A\otimes {}^{t}\!B}$