Trois modèles de reptuiles simplesLe pentagone sphinx, reptuile d'ordre 4 et son développement.
Un reptuile (ou rep-tuile), ou autopavé,, est une forme géométrique plane polygonale, qui possède la particularité d'être reproductible, à une échelle supérieure ou inférieure, par juxtaposition ou découpe d'un certain nombre de copies de lui-même; ceci, donc, indéfiniment. La notion de reptuile peut être également étendue aux formes fractales.
Le nom a été créé en anglais par Solomon W. Golomb en 1962 sous la forme rep-tile ou reptile (pouvant se traduire par « tuile réplicante»); la traduction française par «reptile» fait disparaitre le jeu de mots, d'où l'adaptation française en rep-tuile ou reptuile.
Ordre
Une sélection de reptuiles
Le reptuile est dit d'ordre 2 quand il possède une reproduction par deux éléments. Les triangles rectanglesisocèles et les parallélogrammes dont les mesures des côtés sont dans le rapport 1 à la racine carrée de 2 satisfont à cette condition. Ce sont les seuls reptuiles polygonaux d'ordre 2 mais il existe également 4 types de reptuiles fractals d'ordre 2 .
Il existe peu de reptuiles d'ordre 3. Le triangle rectangle d'angles 30°, 60°, 90° en est un.
Tous les triangles et tous les parallélogrammes sont reproductibles d'ordre 4.
Certains triangles ou parallélogrammes peuvent avoir deux ordres de réplication, par exemple 4 et 7 qui se combinent ensuite (4,7,8,14,16,28,32 etc.).
Le sphinx est le seul pentagone reptuile d'ordre 4. Il existe des reptuiles en figure croisée comme le poisson d'ordre 9. On remarquera que de nombreuses constructions reptuiles sont elles-mêmes constituées d'éléments intermédiaires de forme géométrique simple mais ne répondant pas à la définition reptuile.
Des polygones plus complexes sont d'ordre 7 comme la figure dérivée de la courbe de Gosper
Il a été remarqué que tous les reptuiles d'ordre 4 connus sont aussi des reptuiles d'ordre 9. Mais on ne sait pas si ce résultat est général (rien n'a été démontré).
Jeu
Les reptuiles peuvent être utilisés comme puzzles ou la construction de pavages décoratifs.
Fractales reptuiles
Le reptuile sphinx en fractale
Les fractales obtenues comme attracteur de système de fonctions itérées sont, lorsque les fonctions sont des similitudes, réunion de copies d'elles-même. s'il n'y a pas de chevauchement, ce sont alors des reptuiles d'ordre le nombre de fonctions de l'IFS.
(en) Martin Gardner, «Rep-Tiles», dans The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, New York, W. W. Norton, (ISBN03-9302-0231), p.46-58.
