Tessarine

En mathématiques, les tessarines sont des nombres hypercomplexes introduits et étudiés par James Cockle en 1848 et les années suivantes^,,,,,. C’est une algèbre qui combine les nombres complexes usuels et les nombres complexes déployés introduits par Cockle dans le même article initial.

Définition

Les tessarines constituent une algèbre hypercomplexe associative et commutative de dimension 4, de base (1, i, j, k) telle que i² = −1, j² = 1 et k = ij. Les unités i et j sont simplement les unités imaginaires respectives des complexes et des complexes déployés.

Les propriétés d’associativité et de commutativité permettent de déduire le reste de la table de multiplication de cette algèbre, à savoir :

Propriétés algébriques

• Les tessarines constituant une algèbre hypercomplexe associative, elles constituent donc un anneau unitaire.
• L’algèbre étant de plus commutative, les tessarines constituent plus précisément un anneau commutatif (à la différence des quaternions, qui constituent un anneau unitaire non commutatif).
• Les tessarines permettent les puissances, les racines et les logarithmes de j, racine non réelle de 1.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient des diviseurs de zéro, donc ne constitue pas un corps commutatif (à la différence des quaternions qui, constituant un anneau sans diviseur de zéro, constituent un corps gauche) : (1 + j)(1 − j) = 1 − j² = 0.
• À l’image des complexes déployés, l’anneau des tessarines contient deux éléments idempotents non triviaux : [(1 + j)/2]² = (1 + j)/2 et [(1 − j)/2]² = (1 − j)/2.

Représentation matricielle

Une tessarine t peut être représentée par une matrice symétrique 2 × 2 à coefficients complexes :

${\displaystyle t={\begin{pmatrix}w&z\\z&w\end{pmatrix}}\ .}$

Sous cette représentation, la base des tessarines peut s’écrire :

${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {i} ={\begin{pmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{pmatrix}}\qquad \mathrm {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \mathrm {k} ={\begin{pmatrix}0&\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\ .}$

Sous-algèbres

Soit une tessarine t = a + bi + cj + dk, avec (a, b, c, d) ∈ ℝ⁴. En fixant certains de ces coefficients réels, on peut obtenir plusieurs sous-algèbres.

Isomorphisme avec les nombres bicomplexes

L’algèbre des tessarines est isomorphe à l’algèbre des nombres bicomplexes ℂ₂ (cas particulier de nombres multicomplexes ℂ_n), de base {1, i₁, i₂, j} avec i₁ = i, i₂ = k et j_bicomplexes = −j_tessarines.

Les termes « tessarine » et « bicomplexe » sont donc souvent utilisés comme synonymes l’un de l’autre, bien qu’ayant historiquement été découverts selon des considérations différentes.

Voir aussi

Notes et références

Références

1. 1 2 3 Cockle déc. 1848
2. 1 2 Cockle janv. 1849
3. ↑ Cockle juin 1849
4. ↑ Cockle déc. 1849
5. ↑ Cockle avr. 1850
6. ↑ Cockle oct. 1850

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Entier surnaturel Entier profini Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante d’Euler (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley-Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

• Portail des mathématiques