Test Z

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En statistique, un test Z est un terme générique désignant tout test statistique dans lequel la statistique de test suit une loi normale sous l'hypothèse nulle.

Exemple : test sur la moyenne d'une loi normale où la variance est connue

On considère un n-échantillon ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$avec ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2})}$ et un risque ${\displaystyle \alpha }$.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m=m_{0}}$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-m_{0}}{\sigma }}}$ qui suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

Si ${\displaystyle |z|}$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m\leqslant m_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:m\geqslant m_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est inférieur au quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }}$ le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors on a l'égalité ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }}$

Exemple : test sur la proportion d'une loi binomiale

On considère un n-échantillon ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ avec ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {B}}(p)}$

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p=p_{0}}$

La statistique de test sous l'hypothèse nulle est :

${\displaystyle Z={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})}}}}$converge en loi vers une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ quand n tend vers l'infini.

Si ${\displaystyle |z|}$ , la réalisation de la statistique de test, est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p\leqslant p_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est supérieur au quantile d'ordre ${\displaystyle 1-\alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

• Si l'on teste ${\displaystyle H_{0}:p\geqslant p_{0}}$

Si ${\displaystyle z}$ est inférieur au quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ alors on rejette l'hypothèse nulle.

Remarque : si l'on note ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }}$ le quantile d'ordre ${\displaystyle \alpha }$ de la loi ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, alors on a l'égalité ${\displaystyle \upsilon _{\alpha }=-\upsilon _{1-\alpha }}$

Notes et références

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

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