Deltoid

A geometriában a deltoid olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, melynek az egyik átlója a szimmetriatengelye és melynek két-két egymás melletti oldala azonos hosszúságú. (Ha mind a négy oldal azonos hosszúságú, akkor a deltoid egyúttal rombusz is, ha ezenfelül közbezárt szögük derékszög, négyzet is.) Ebből az is következik, hogy van a vele szemközti szöggel egybevágó szöge, és hogy a konvex deltoid egyik átlója merőlegesen metszi a másikat, és szimmetria okokból felezi azt. A konkáv deltoid átlói elkerülik egymást, nem metszők, de az átlókra fektetett egyenesek ekkor is merőlegesen metszik egymást.

Tulajdonságai

• Az egyik átlójára szimmetrikus és a két-két egymás melletti oldal egyenlő hosszú ekvivalens definíciók.
• Az ${\displaystyle e}$ és ${\displaystyle f}$ átlók merőlegesek, tehát a deltoid ortodiagonális négyszög.
• A szimmetriaátló egyenese felezi a másik átlót, és azokat a belső szögeket, melyek csúcsai között fut. A négyszöget két egybevágó, egymáshoz képest tükrözött háromszögre bontja.
• A szimmetriatengely által elválasztott két csúcsnál levő szögek nagysága megegyezik.

A konvex deltoid tulajdonságai:

• A konvex deltoidot a másik átló két egyenlő oldalú háromszögre bontja.
• Van beírt köre, tehát érintőnégyszög
• Ha a két egyenlő nagyságú szög derékszög, akkor húrnégyszög, és van körülírt köre. Ez a Thalész-tétel megfordításából adódik.

Egy érintőnégyszög csak akkor deltoid, ha teljesíti a következők valamelyikét:

• Két szomszédos oldala egyenlő hosszú.
• Az átlók merőlegesek.
• Az érintőpontok összekötő szakaszai egyenlő hosszúak.
• Két szemben fekvő érintőszakasz egyenlő hosszú.
• A beírt kör középpontja az egyik átlón helyezkedik el.

Területe

Ha ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ a deltoid oldalai és ${\displaystyle \beta }$ a nem megegyező oldalak által bezárt szög, ${\displaystyle e}$ és ${\displaystyle f}$ a deltoid két átlója, akkor a deltoid ${\displaystyle t}$ területe a következőképpen számítható:

${\displaystyle t={\frac {e\cdot f}{2}}=a\cdot b\cdot \sin(\beta )}$

Minden deltoidnak van legalább egy szimmetriatengelye. Minden konvex deltoid érintőnégyszög, de a konkáv deltoid esetében is igaz, hogy az oldalaira fektetett 4 egyenes egy kör 4 érintője, csupán az érintési pontok közül kettő nem a deltoid oldalára esik.

Kerülete

${\displaystyle k=2\cdot (a+b)=a+a+b+b}$

Képletek

A deltoid matematikai képletei
Terület	${\displaystyle A=a\cdot b\cdot \sin(\beta )}$
	${\displaystyle A={\frac {e\cdot f}{2}}}$
Kerület	${\displaystyle U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)}$
oldalhosszak	${\displaystyle a=d,\quad b=c}$
Az átlók hossza (lásd koszinusztétel, SaHérón-tétel)	${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}}$
	${\displaystyle f={\frac {4\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-e)}}}{e}}}$ ahol ${\displaystyle s={\frac {a+b+e}{2}}}$
	${\displaystyle f=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot b\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}$
Beírt kör sugara	${\displaystyle r={\frac {2\cdot A}{U}}={\frac {e\cdot f}{2\cdot (a+b)}}}$
Belső szög (lásd koszinusztétel)	${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {2\cdot a^{2}-f^{2}}{2\cdot a^{2}}}\right)}$
	${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {2\cdot b^{2}-f^{2}}{2\cdot b^{2}}}\right)}$
	${\displaystyle \beta =\delta =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-e^{2}}{2\cdot a\cdot b}}\right)}$

${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ a belső szögek. A beírt kör ${\displaystyle r}$ sugarára vonatkozó első képlet úgy kapható, hogy az A, B, C és D csúcsokat összekötjük a beírt kör sugarával. Ezzel a deltoidot négy háromszögre osztjuk, melyek alapja a négyszög egyik oldala, és magassága ${\displaystyle r}$. Mint bármely érintőnégyszögnél ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot U\cdot r}$.

Általánosítások

A ferdedeltoid egy síknégyszög, melyben az egyik átló felezi a másikat. Itt a német szaknyelv két különböző szót is használ a ferde szóra. Ez az általánosítás elengedi az átlók merőlegességét. Ebben az értelemben a deltoid egyenes ferdedeltoid. A ferdedeltoid területe a vektoriális szorzat segítségével számolható.

Egy négyszög akkor ferdedeltoid, ha van belső pontja, melyet összekötve a csúcsokkal négy egyforma területű háromszögre bontható.

Parkettázások

Ahogy bármely négyszöggel, úgy a deltoiddal is lehet parkettázni. Itt két speciális deltoidparkettázást mutatunk be, egy nem periodikust és egy periodikust:

• 
  Penrose-parkettázás
• 
  Parkettázás speciális deltoidokkal: két szemben fekvő szög derékszög, és a harmadik szög 60 fokos. Egy egymásra helyezett szuabályos hatszögrács és szabályos háromszögrács uniója

Poliéderek deltoidokkal

Néhány poliédernek d3eltpoid oldalai vannak. Közülük két Catalan-testnek, a deltoidalikozitetraédernek és a deltoidalhexakontaédernek a felszíne egybevágó deltoidokból áll.

A romboéder, a rombododekaéder és a rombotriakontaéder lapjai szintén egybevágó deltoidok, habár speciálisak, mert rombuszok. Mindezek forgásszimmetrikusak, azaz bizonyos tengelyek körül megforgatva önmagába mozgathatók.

• 
  Romboéder
• 
  Rombododekaéder
• 
  Rombotriakontaéder
• 
  Deltoidalikoizitetraéder
• 
  Deltoidalhexakontaéder

Jegyzetek

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Deltoid témájú médiaállományokat.

• Kite a PlanetMath oldalain

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Drachenviereck című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.