Deltoid

A geometriában a deltoid olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, melynek az egyik átlója a szimmetriatengelye és melynek két-két egymás melletti oldala azonos hosszúságú. (Ha mind a négy oldal azonos hosszúságú, akkor a deltoid egyúttal rombusz is, ha ezenfelül közbezárt szögük derékszög, négyzet is.) Ebből az is következik, hogy van a vele szemközti szöggel egybevágó szöge, és hogy a konvex deltoid egyik átlója merőlegesen metszi a másikat, és szimmetria okokból felezi azt. A konkáv deltoid átlói elkerülik egymást, nem metszők, de az átlókra fektetett egyenesek ekkor is merőlegesen metszik egymást.

Tulajdonságai

Az egyik átlójára szimmetrikus és a két-két egymás melletti oldal egyenlő hosszú ekvivalens definíciók.
Az $e$ és $f$ átlók merőlegesek, tehát a deltoid ortodiagonális négyszög.
A szimmetriaátló egyenese felezi a másik átlót, és azokat a belső szögeket, melyek csúcsai között fut. A négyszöget két egybevágó, egymáshoz képest tükrözött háromszögre bontja.
A szimmetriatengely által elválasztott két csúcsnál levő szögek nagysága megegyezik.

A konvex deltoid tulajdonságai:

A konvex deltoidot a másik átló két egyenlő oldalú háromszögre bontja.
Van beírt köre, tehát érintőnégyszög
Ha a két egyenlő nagyságú szög derékszög, akkor húrnégyszög, és van körülírt köre. Ez a Thalész-tétel megfordításából adódik.

Egy érintőnégyszög csak akkor deltoid, ha teljesíti a következők valamelyikét:

Két szomszédos oldala egyenlő hosszú.
Az átlók merőlegesek.
Az érintőpontok összekötő szakaszai egyenlő hosszúak.
Két szemben fekvő érintőszakasz egyenlő hosszú.
A beírt kör középpontja az egyik átlón helyezkedik el.

Területe

Ha $a$ és $b$ a deltoid oldalai és $β$ a nem megegyező oldalak által bezárt szög, $e$ és $f$ a deltoid két átlója, akkor a deltoid $t$ területe a következőképpen számítható:

$t = \frac{e \cdot f}{2} = a \cdot b \cdot \sin (β)$

Minden deltoidnak van legalább egy szimmetriatengelye. Minden konvex deltoid érintőnégyszög, de a konkáv deltoid esetében is igaz, hogy az oldalaira fektetett 4 egyenes egy kör 4 érintője, csupán az érintési pontok közül kettő nem a deltoid oldalára esik.

Kerülete

$k = 2 \cdot (a + b) = a + a + b + b$

Képletek

A deltoid matematikai képletei
Terület	$A = a \cdot b \cdot \sin (β)$
Terület	$A = \frac{e \cdot f}{2}$
Kerület	$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)$
oldalhosszak	$a = d, b = c$
Az átlók hossza (lásd koszinusztétel, SaHérón-tétel)	$e = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos (β)}$
	$f = \frac{4 \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - e)}}{e}$ ahol $s = \frac{a + b + e}{2}$
	$f = 2 \cdot a \cdot \sin (\frac{α}{2}) = 2 \cdot b \cdot \sin (\frac{γ}{2})$
Beírt kör sugara	$r = \frac{2 \cdot A}{U} = \frac{e \cdot f}{2 \cdot (a + b)}$
Belső szög (lásd koszinusztétel)	$α = \arccos (\frac{2 \cdot a^{2} - f^{2}}{2 \cdot a^{2}})$
	$γ = \arccos (\frac{2 \cdot b^{2} - f^{2}}{2 \cdot b^{2}})$
	$β = δ = \arccos (\frac{a^{2} + b^{2} - e^{2}}{2 \cdot a \cdot b})$

$α, β, γ, δ$ a belső szögek. A beírt kör $r$ sugarára vonatkozó első képlet úgy kapható, hogy az A, B, C és D csúcsokat összekötjük a beírt kör sugarával. Ezzel a deltoidot négy háromszögre osztjuk, melyek alapja a négyszög egyik oldala, és magassága $r$ . Mint bármely érintőnégyszögnél $A = \frac{1}{2} \cdot U \cdot r$ .

Általánosítások

A ferdedeltoid egy síknégyszög, melyben az egyik átló felezi a másikat. Itt a német szaknyelv két különböző szót is használ a ferde szóra. Ez az általánosítás elengedi az átlók merőlegességét. Ebben az értelemben a deltoid egyenes ferdedeltoid. A ferdedeltoid területe a vektoriális szorzat segítségével számolható.

Egy négyszög akkor ferdedeltoid, ha van belső pontja, melyet összekötve a csúcsokkal négy egyforma területű háromszögre bontható.

Parkettázások

Ahogy bármely négyszöggel, úgy a deltoiddal is lehet parkettázni. Itt két speciális deltoidparkettázást mutatunk be, egy nem periodikust és egy periodikust:

Penrose-parkettázás
Parkettázás speciális deltoidokkal: két szemben fekvő szög derékszög, és a harmadik szög 60 fokos. Egy egymásra helyezett szuabályos hatszögrács és szabályos háromszögrács uniója

Poliéderek deltoidokkal

Néhány poliédernek d3eltpoid oldalai vannak. Közülük két Catalan-testnek, a deltoidalikozitetraédernek és a deltoidalhexakontaédernek a felszíne egybevágó deltoidokból áll.

A romboéder, a rombododekaéder és a rombotriakontaéder lapjai szintén egybevágó deltoidok, habár speciálisak, mert rombuszok. Mindezek forgásszimmetrikusak, azaz bizonyos tengelyek körül megforgatva önmagába mozgathatók.

Jegyzetek

↑ Martin Josefsson: When is a Tangential Quadrilateral a Kite?, Forum Geometricorum, Archivlink abgerufen am 4. März 2025
↑ Archiválva Webarchive-hiba: Dátum hiányzik dátummal a(z) www.mathe.tu-freiberg.de archívumban Webarchive-hiba: ismeretlen archívum-URL, Mathematik, TU Freiberg
↑ Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke, Mathematische Basteleien
↑ Hans Walser: Viereck-Viertelung

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Deltoid témájú médiaállományokat.

Kite a PlanetMath oldalain

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Drachenviereck című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] Martin Josefsson: When is a Tangential Quadrilateral a Kite?, Forum Geometricorum, Archivlink abgerufen am 4. März 2025

[2] Archiválva Webarchive-hiba: Dátum hiányzik dátummal a(z) www.mathe.tu-freiberg.de archívumban Webarchive-hiba: ismeretlen archívum-URL, Mathematik, TU Freiberg

[3] Jürgen Köller: Hierarchie der Vierecke, Mathematische Basteleien

[4] Hans Walser: Viereck-Viertelung