Rombusz

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!

A geometriában a rombusz olyan négyszög, melynek minden oldala egyenlő hosszú. Egy alternatív definíció szerint olyan paralelogramma, melynek átlói merőlegesek egymásra.

A rombusz szemközti oldalai párhuzamosak és szemközti szögei egyenlőek, ezért a paralelogramma speciális esete, szomszédos oldalai egyenlő hosszúak, ezért a deltoid speciális esete is – így érintőnégyszög. A rombusz átlói egymásra merőlegesek és felezik egymást. A szemközti szögeket felezik az átlók.

Szimmetriatulajdonságok

A rombusz tengelyesen szimmetrikus alakzat, szimmetriatengelyei az átlói. Ezenkívül a középpontja körüli 180°-os elforgatás (azaz a középpont körüli középpontos tükrözés) is saját magába képezi, ezért szimmetriacsoportja négyelemű:

• tükrözés az egyik átlóra,
• tükrözés a másik átlóra,
• forgatás (180°-os a középpont körül),
• helybenhagyás (identitás)

Ezek a leképezések nem mást alkotnak mint a ${\displaystyle D_{2}}$ diédercsoportot, ami más néven a Klein-féle csoport. Kivéve, ha a rombusz négyzet, mert akkor a szimmetriacsoport a 8 elemű diédercsoport (bekerülnek a forgatások is). A rombusz tehát ugyanazokkal a szimmetriatulajdonságokkal rendelkezik, mint a téglalap. Szimmetriacsoportja tehát azonos a téglalapéval: a D₂ Klein-csoport és egymás duálisai, egyikük csúcsai a másik oldalainak felel meg. A síkbeli rombusz 5 szabadsági fokkal rendelkezik: egy az alak (azaz: az oldalak szöge), egy a nagyság, egy az állásszög és kettő a hely.

Tulajdonságok

• A szemben fekvő oldalak párhuzamosak.
• A szemben fekvő szögek nagysága megegyezik.
• A belső szögeket az átlók felezik.
• Kör írható belé, ezért érintőnégyszög. A beírt kör középpontja az átlók metszéspontja.

A rombusz jellemezhető úgy is, mint:

• Paralelogramma, melyben a szomszédos oldalak egyenlő hosszúak
• Paralelogramma merőleges átlókkal
• Paralelogramma, melyben legalább egy belső szöget felez egy átló
• Deltoid páronként párhuzamos oldalakkal
• Négyszög egymást felező, egymásra merőleges átlókkal
• Négyszög 2 szimmetriatengellyel, melyek a szemközti csúcsokat kötik össze
• Négyszög, melyben az átlók a belső szögeket felezik

Rombusz megadásához két független adatot kell megadni, például az oldalhosszat és egy belső szöget.

Képletek

A rombuszra vonatkozó képletek
Terület (az átlókkal)	${\displaystyle T\,=\,{\frac {e\cdot f}{2}}={\frac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}}$
Terület (oldalakkal és szögekkel)	${\displaystyle T\,=\,a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta }$
Terület (oldallal és magassággal)	${\displaystyle T\,={\frac {m_{a}^{2}}{\sin(\alpha )}}={\frac {m_{a}^{2}}{\sin(\beta )}}}$
Kerület	${\displaystyle K\,=\,4a}$
Átló (egyik)	${\displaystyle e\,=\,2\cdot a\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}=2\cdot a\cdot \sin {\frac {\beta }{2}}}$
Átló (másik)	${\displaystyle f\,=\,2\cdot a\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}=2\cdot a\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}}$
Beírt kör sugara	${\displaystyle \rho \,=\,{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \sin \alpha }$
Oldalhossz	${\displaystyle a\,={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$
Magasság (oldallal)	${\displaystyle m_{a}=a\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )}$
Magasság (átlókkal)	${\displaystyle m_{a}={\frac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}$
A-nál lévő szög	${\displaystyle \alpha \,}$
B-nél lévő szög	${\displaystyle \beta \,}$
Átlók	${\displaystyle e={\overline {AC}};\quad f={\overline {BD}}}$

Optimalizáció

A rombuszok körében is felvethetők optimalizációs problémák. Keresünk egy rombuszt, ahol:

• adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legkisebb kerületű
• adott magassággal vagy adott beírt kör sugárral a legnagyobb területű
• adott kerülettel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű
• adott kerülettel a legnagyobb területű
• adott területtel a legnagyobb magasságú vagy a beírt kör a legnagyobb területű
• adott területtel a legkisebb kerületű

Ekkor a megoldás mindig a négyzet.

A hat optimalizáció közül kettő megegyezik egy másikkal, csak más megadott méretekkel. A magasságot és a beírt kör területét tartalmazó feladatok megoldása ugyanaz, mivel a beírt kör területe, ${\displaystyle \pi \cdot r_{i}^{2}={\tfrac {1}{4}}\cdot \pi \cdot m_{a}^{2}}$ szigorúan monoton növő, folytonos függvénye ${\displaystyle m_{a}}$-nak.

Ha például adott ${\displaystyle m_{a}}$ magasság esetén a legkisebb területű rombuszt keressük, akkor a terület egyenlőtlenségekkel becsülhető.

Ha egy rombusz átlói ${\displaystyle e}$ és ${\displaystyle f}$, akkor magassága ${\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}$, és területe ${\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{2}}}$. Az ${\displaystyle {\tfrac {e\cdot f}{\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}}$ oldalhosszú négyzetnek ugyanez a magassága, területe pedig ${\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}}$. A számtani és a mértani közép egyenlőtlenségéből következően ${\displaystyle {\sqrt {e\cdot f}}\leq {\tfrac {e+f}{2}}}$, ezért ${\displaystyle {\tfrac {e^{2}\cdot f^{2}}{e^{2}+f^{2}}}\leq {\tfrac {e\cdot f}{2}}}$ minden pozitív ${\displaystyle e}$ és ${\displaystyle f}$ átlóhosszra, és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha ${\displaystyle e=f}$. Innen következik, hogy adott magasság esetén a négyzet a legkisebb területű rombusz.

Több rombusz kombinációja

Csillaggá csak azok a rombuszok záródnak, melyek központi szöge ${\displaystyle 360^{\circ }/n}$ valamely n pozitív egészre. Ekkor uniójuk egy ${\displaystyle n}$ csúcsú csillag. Három dimenzióban ez már nem teljesül, más szögű rombuszokból is lehet piramisszerű alakzatokat építeni.

Rombusz parkettázások

Definíciója alapján a rombusz alkalmas síkkitöltő parkettázásra. A rombuszparkettázás a négyzetráccsal együtt a 17 lehetséges periodikus parkettázási csoport egyikét képezik. Egy ilyen csempézés látható Bajorország zászlaján.

Aperiodikus parkettázás lehetséges kétféle rombusz, egyik szöge 36° és 144°, a másiké 72° és 108°.

• 
  Rombuszrács parkettázás Bajorország zászlaján
• 
  Alternáló parkettázás rombuszokkal
• 
  Egy arkhimédészi parkettázás duális parkettája
• 
  Penrose-parkettázás
• 
  Penrose-parkettázás

Poliéderek rombuszokkal

Bizonyos poliédereket rombuszok határolnak, például a romboédert. A rombododekaéder és a rombusztriakontaéder is Catalan-test, melyeket egybevágó rombuszok határolnak. Mindezeket a poliédereket csak rombuszok határolnak. Ezek mind forgásszimmetrikusak, azaz bizonyos tengelyek körül bizonyos szöggel elforgatva önmagukba mennek át.

• 
  Romboéder
• 
  Rombododekaéder
• 
  Rombusztriakontaéder

Rombusz a koordinátageometriában

Eredete

A rombusz szó eredete a görög „forgó tárgy” szóra vezethető vissza.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Raute című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek