Euler-egyenes

Az Euler-egyenes egy Leonhard Euler által felfedezett egyenes, ami a háromszög megadott három (illetve négy) pontjára illeszkedik. Az egyenes jelentősége egyes szerkesztések esetén lényeges.

Tétel

Egy ABC háromszögben a magasságpont, a súlypont és a köréírt kör középpontja egy egyenesre esik. Ezt nevezzük a háromszög Euler-egyenesének.

Speciálisan ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az Euler-egyenes a háromszög szimmetriatengelye is egyúttal.

Szabályos háromszögek esetén a három pont egybeesik, ekkor bármely, ezt a pontot tartalmazó egyenes lehet Euler-egyenes.

Ha a háromszög derékszögű, akkor Euler-egyenese az átfogóhoz tartozó súlyvonal egyenese: ilyenkor ui. az átfogó felezőpontja (a Thalész-tétel megfordítása értelmében) a körülírt kör középpontja, továbbá a derékszögű csúcs a magasságpont.

Bizonyítható az is, hogy a Feuerbach-kör középpontja is ezen az egyenesen van, és felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt.

Bizonyítás

Háromszögek hasonlóságával

Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, súlypontja S és a köré írható kör középpontja O. Az oldalfelező pontok rendre F_A, F_B és F_C. Az F_AF_BF_C háromszög hasonló az ABC-hez, és λ=2 a hasonlóság aránya. Az F_CO szakasz merőleges az F_AF_B szakaszra, így megfelel a CM szakasznak.

Mivel S rajta van a CF_C szakaszon, ezért az OF_CS∠ és SCM∠ szögek, mivel párhuzamos szárú szögek, egyenlőek. Továbbá CS=2·SF_C, ezért SOF_C△~SMC△. Ezen okból OSF_C∠=MSC∠, amik csúcsa közös, egyik száruk egy egyenesen van, ezért a másik száruk is. QED

További tulajdonságok

Egy ABC háromszög Euler-egyenese tartalmazza az érintőháromszög körülírt körének ${\displaystyle X_{26}}$ középpontja. Az érintőháromszög úgy áll elő, hogy a körülírt körhöz érintőket húzunk a háromszög csúcsaiban. Emiatt az Euler-egyenesen található a háromszög további néhány nevezetes pontja, mint például az ${\displaystyle X_{20}}$ Longchamps-pont, az ${\displaystyle X_{21}}$ Schiffler-pont és az ${\displaystyle X_{22}}$ Exeter-pont.

A háromszög beírt körének középpontja pontosan akkor fekszik az Euler-egyenesen, ha a háromszög egyenlő szárú.

Ábrázolása

Baricentrikus koordinátákban az Euler-egyenes egyenlete

${\displaystyle (b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,x+(c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,y+(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})\,z=0,}$

${\displaystyle (\sin(2\gamma )-\sin(2\beta ))\,x+(\sin(2\alpha )-\sin(2\gamma ))\,y+(\sin(2\beta )-\sin(2\alpha ))\,z=0}$

vagy

${\displaystyle (\operatorname {tg} \gamma -\operatorname {tg} \beta )\,x+(\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \gamma )\,y+(\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha )\,z=0.}$

ahol ${\displaystyle a,b,c}$ a háromszög oldalainak hossza, és ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ a háromszög szögeinek nagysága.

Általánosítása

Egy tetszőleges ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ tetraéder esetén az Euler egyenes az az ${\displaystyle e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ egyenes, amely áthalad az ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ geometriai súlypontján, és a körülírt gömb ${\displaystyle U({\mathcal {T}})}$ középpontján.

Megjegyzések

Források

• Gerőcs László (2010). Gerőcs László, Vancsó Ödön (ed.). Matematika. Akadémiai Kiadó. ISBN 978 963 05 8488 3. ISSN 1787-4750. {{cite book}}: Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (súgó)
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1977) [1967]. Az újra felfedezett geometria. Gondolat. ISBN 963 280 512 7.
• Dr. Pelle Béla (1974). Geometria. Tankönyvkiadó. ISBN 963 17 0746 6.
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 162–166
• Nathan Altshiller-Court (1964). Modern Pure Solid Geometry (2. ed.). Bronx NY: Chelsea Publishing Company. OCLC 1597161.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Eulersche Gerade című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

• Euler-egyenes a MathWorldön
• Altitudes and the Euler Line at cut-the-knot
• Euler Line and 9-Point Circle at cut-the-knot