Hasse-diagram

A matematikában a Hasse-diagram a részbenrendezett halmazok ábrázolására használt ábra.

Egy tetszőleges ${\displaystyle (M,\leq )}$ részbenrendezett halmaz Hasse-diagramja olyan irányított gráf, amelyben a részbenrendezett halmaz ${\displaystyle M}$ alaphalmazának az elemei alkotják a gráf pontjait, és a gráfban az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ pontok között pontosan akkor halad él, ha ${\displaystyle a<b}$ teljesül és nincs olyan ${\displaystyle c}$ elem, amelyre ${\displaystyle a<c<b}$ teljesülne az adott részbenrendezésben. Az él irányítását a diagramon úgy ábrázoljuk, hogy a ${\displaystyle b}$ pontot az ${\displaystyle a}$ pont fölött helyezzük el. Ezzel az elrendezéssel azért lehet ábrázolni az élek irányítását, mert a Hasse-diagram körmentes. A reflexivitásból adódó hurokéleket a diagramon nem ábrázoljuk.

Példák

Tartalmazás

A háromelemű {x, y, z} halmaz részhalmazai hálót alkotnak a tartalmazás relációval.

Oszthatóság

Egy természetes szám osztóit ábrázolhatjuk Hasse-diagram segítségével, hiszen az oszthatóság relációja részbenrendezés. Az alábbi gráf a 60 osztóinak a Hasse-diagramját ábrázolja.

Osztályozás

Az {1, 2, 3, 4} halmaz osztályozásai, az osztályozás fokozatos „finomítása” által létrehozott részbenrendezéssel

S = {a,b,c,d}

Lásd még

• Háló

Jegyzetek

Hivatkozások

• Szász Gábor: Bevezetés a hálóelméletbe (Akadémiai, 1959) 20–23. o.
• Czédli Gábor: Boole-függvények (Polygon, Szeged, 1995) 55–56. o.

Külső hivatkozások

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai
• Hasse-diagram a MathWorld oldalán