Nel 1873 sposò la nobile Maria Lavinia, figlia del senatore Tiberio Sergardi, dalla quale ebbe sei figli: Lorenzo Fineschi, ufficiale di carriera come il padre; Elisa, Maria, Ada, Guido e Lina.
Entrò nel 1850 nel collegio-seminario vescovile di Pistoia, per poi proseguire gli studi, dal 1853, presso il Liceo militare Arciduca Ferdinando di Firenze, dove conobbe il futuro tenente generale e senatore del Regno Mario Lamberti, entrato nell'istituto due anni dopo.
Studio della Caserma del Foro Boario Ferdinando Antonio Buonamici, Modena - 1859, dedicato al tenente Adolfo Fineschi
Durante la campagna del 1859 si trovò a Modena con i reparti toscani. In quell'occasione il pittore macchiaioloFerdinando Buonamici, arruolatosi volontario come cannoniere nella seconda guerra di indipendenza italiana, gli dedicò un dipinto raffigurante la caserma del Foro Boario, a Firenze, con la seguente dedica: "Caserma della R. Comp. di Riserva del Foro Boario, Modena, il Cannoniere F. Buonamici [...] bre 1859, donò al Sig. Tenente A. Fineschi". Una versione di maggiori dimensioni dell'opera è oggi conservata presso la Galleria d'arte moderna di Palazzo Pitti.
Con il Regio Decreto del 25 marzo 1860 entrò nella Regia Armata Sarda. Il 27 giugno raggiunse Torino, dove frequentò la Scuola di applicazione per ufficiali di artiglieria, inquadrato in una compagnia maestranze, prestando giuramento il successivo 12 agosto. Nello stesso anno fu promosso capitano e destinato allo Stato maggiore dell'artiglieria. Con la proclamazione del Regno d'Italia, transitò nel Regio Esercito.
Nel giugno del 1866 prese parte alla battaglia di Custoza. Durante il combattimento di Monte Croce comandò batterie chiamate a sostituire quelle ormai fuori combattimento, operando «sotto il fuoco già aggiustato e quindi micidialissimo del nemico». Pur perdendo un cannoniere e riportando numerosi feriti, riuscì a rallentare temporaneamente l'avanzata delle forze austriache nel settore. Per tale comportamento ottenne la Menzione onorevole al valor militare, successivamente convertita in Medaglia di bronzo al valor militare.
Foto di gruppo degli ufficiali del 31º Reggimento di fanteria, che rendono omaggio al maggior generale Adolfo Fineschi, comandante della brigata "Siena" Palermo, 14 marzo 1890
Il 4 settembre 1870 fu promosso maggiore e assegnato al 9º Reggimento di artiglieria, che partecipò il 20 settembre alla presa di Roma. Nel dicembre dello stesso anno fu trasferito al neocostituito 10º Reggimento di artiglieria da campagna, di stanza a Caserta.
Promosso tenente colonnello nel 1877, prestò servizio presso il 14º Reggimento di artiglieria e fu successivamente incaricato della direzione territoriale di artiglieria di Bologna. Conseguì il grado di colonnello nel 1881 e il 21 ottobre 1883 assunse il comando del 15º Reggimento di Artiglieria da Fortezza, in Roma.
Nel 1888 fu promosso colonnello brigadiere e posto al comando della brigata di fanteria "Siena", di stanza in Sicilia. Nel 1889 conseguì il grado di maggior generale, mentre il 24 dicembre 1896 fu promosso tenente generale, il grado più elevato della sua carriera militare.
Morì a Siena il 16 aprile 1929, un giorno prima di compiere novantuno anni.
↑Le informazioni relative alla carriera militare sono ricavate dagli Annuari Militari Ufficiali dello Stato Sardo e dagli Annuari Militari del Regno d'Italia.
Bibliografia
Angelo De Gubernatis, Piccolo dizionario dei contemporanei italiani, Roma, Forzani e C., Tipografi del Senato, 1895.
Enciclopedia militare. Arte, biografia, geografia, tecnica militare, Roma, Il Popolo d'Italia, 1927-1929.
Annuario ufficiale militare del Regno d'Italia, Torino, Tipografie Fodratti e V. Vercellino, tutte le annate fino al 1921.
Carlo Corsi, 1844-1869 Venticinque anni in Italia - II, Firenze, Tipografia P. Faverio e Comp., 1870.
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Regno d'Italia
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Regia Armata Sarda 
Tenente Generale
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