Operatore aggiunto

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A^* o A^† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Definizione

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di Banach

Siano $X$ e $Y$ spazi di Banach e $T : X \to Y$ un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di $T$ l'operatore lineare limitato $T^{'} : Y^{*} \to X^{*}$ definito dalla relazione:

(T^{'} ϕ) (x) = ϕ (T x) \forall x \in X \forall ϕ \in Y^{*}

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da $X$ a $Y$ allo spazio degli operatori lineari limitati da $Y^{*}$ a $X^{*}$ . Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.

Spazio di Hilbert

Sia $V$ uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano $⟨, ⟩$ , e sia $A$ un operatore lineare continuo in $V$ . Per ogni $𝐰$ di $V$ si definisce il funzionale lineare:

L_{w} : V ⟶ 𝐂

tale che:

L_{w} (𝐯) = ⟨ A 𝐯, 𝐰 ⟩

per ogni $𝐯$ di $V$ . Si tratta di un operatore continuo poiché $A$ è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento $𝐰^{'}$ tale che:

⟨ A 𝐯, 𝐰 ⟩ = ⟨ 𝐯, 𝐰^{'} ⟩

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A^* tale che:

⟨ 𝐯, A^{*} 𝐰 ⟩ = ⟨ 𝐯, 𝐰^{'} ⟩

ovvero:

⟨ A 𝐯, 𝐰 ⟩ = ⟨ 𝐯, A^{*} 𝐰 ⟩

Se M è la matrice che rappresenta $A$ rispetto ad una base di $V$ , la matrice che rappresenta $A^{*}$ rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.

Vale inoltre il teorema che se l'operatore $A^{*}$ è aggiunto di $A$ allora:

‖ A ‖ = ‖ A^{*} ‖

L'operatore aggiunto $A^{*}$ è dunque tale che:

𝐰^{'} = A^{*} 𝐰

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

| ⟨ A^{*} 𝐰, 𝐯 ⟩ | = | ⟨ 𝐰, A 𝐯 ⟩ | \leq ‖ 𝐰 ‖ ‖ A ‖ ‖ 𝐯 ‖

dalla quale si ha che:

\frac{‖ A^{*} 𝐰 ‖}{‖ 𝐰 ‖} \leq ‖ A ‖

Se $A = A^{*}$ si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:

⟨ A 𝐯, 𝐰 ⟩ = ⟨ 𝐯, A 𝐰 ⟩

Operatori non limitati

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia $H$ uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano $⟨, ⟩$ e sia $A$ un operatore lineare densamente definito in $H$ . Sia $D (A^{*})$ l'insieme di tutti gli elementi $ϕ \in H$ tali per cui esiste $η \in H$ tale che:

⟨ A ψ, ϕ ⟩ = ⟨ ψ, η ⟩ \forall ψ \in D (A)

Per ogni $ϕ \in D (A^{*})$ si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^{*}$ tale che:

A^{*} ϕ = η

ovvero:

⟨ A ψ, ϕ ⟩ = ⟨ ψ, A^{*} ϕ ⟩

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che $ϕ \in D (A^{*})$ se e solo se:

| ⟨ A ψ, ϕ ⟩ | \leq C ‖ ψ ‖ \forall ψ \in D (A)

Proprietà

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:

$A^{* *} = A$
Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:

(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}

$(A + B)^{*} = A^{*} + B^{*}$ se A o B sono limitati
Se $λ$ è un numero complesso si ha:

(λ A)^{*} = λ^{*} A^{*}

$(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$

Inoltre, la relazione tra l'immagine di $A$ ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

\ker A^{*} = {(im A)}^{⊥}

Infatti:

\begin{matrix} A^{*} 𝐯 = 0 & ⟺ ⟨ A^{*} 𝐯, 𝐰 ⟩ = 0 \forall 𝐰 \in H \\ ⟺ ⟨ 𝐯, A 𝐰 ⟩ = 0 \forall 𝐰 \in H \\ ⟺ 𝐯 ⊥ im A \end{matrix}

ed inoltre:

{(\ker A^{*})}^{⊥} = \overline{im A}

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiunto

Lo spettro $σ (T)$ ed il risolvente $R_{λ} (T)$ di un operatore $T$ definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

σ (T^{*}) = {λ : \bar{λ} \in σ (T)} R_{λ} (T^{*}) = R_{λ} (T)^{*}

Se $λ$ appartiene allo spettro residuo di $T$ , allora $λ$ appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto $T^{'}$ . Se invece $λ$ appartiene allo spettro puntuale di $T$ , allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di $T^{'}$ .

Inoltre, se $T$ è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

$T$ non ha spettro residuo.
Lo spettro $σ (T)$ è un sottoinsieme di $ℝ$ ,ovvero gli autovalori sono reali.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Note

↑ Reed, Simon, Pag. 185.
↑ Reed, Simon, Pag. 186.
↑ Reed, Simon, Pag. 187.
↑ S. Lang, Pag. 197.
1 2 S. Lang, Pag. 198.
1 2 S. Lang, Pag. 199.
↑ Reed, Simon, Pag. 252.
↑ Reed, Simon, Pag. 194.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

Collegamenti esterni

Operatore aggiunto, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

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[1] Reed, Simon, Pag. 185.

[2] Reed, Simon, Pag. 186.

[3] Reed, Simon, Pag. 187.

[4] S. Lang, Pag. 197.

[trasp-5] 1 2 S. Lang, Pag. 198.

[prop-6] 1 2 S. Lang, Pag. 199.

[7] Reed, Simon, Pag. 252.

[8] Reed, Simon, Pag. 194.